Differensiallikninger innlevering

[Gjest]

Oppgavene er som følgende:
(1): [tex]y'-2y=4x+2[/tex]
(2): [tex]y'+2y=8x^2[/tex]
(3):[tex]xy'=(x+2)y[/tex]
(4):[tex]4y*y'-e^x=0[/tex]

Ved å se på en youtube video har jeg prøvd å løse oppgave 1: svaret jeg fikk er [tex]Ce^{-2x}-2x+1[/tex]
Fordi [tex](Ce^{-2x}-2x+1)'-2(Ce^{-2x}-2x+1)=4x+2[/tex]

Men nå som jeg ser tilbake føler jeg at dette er heeeelt feil. Jeg har bomma et sted men vet ikke hvor.
Løsningsmåten min er som følgende :

Kode: Velg alt

y'-2y=4x+2
Y=ax+b
Y'=a
(Venstre side): Y'-2Y=a-2(ax+b) = a-2ax-2b
(Høyre side): 4x+2 => a=2 og b=1 =>Y=2x+1
Y'-2y= 0
Yn= Ce^{-2x}
Y= Ce^{-2x}-2x+1

Kunne jeg få hjelp med de andre oppgavene også hvis det er mulig?

[Kay]

For oppgave én vil du finne en integrerende faktor

[tex]y'-2y=4x+2[/tex]

[tex]I_{faktor}=F(x)=\int-2dx=-2x[/tex]

Da bruker vi reglen og opphøyer alt i integrerende faktor

[tex]y'e^{F(x)}-2ye^{F(x)}=4xe^{F(x)}+2e^{F(x)}[/tex]

Som gir

[tex]y'e^{-2x}-2ye^{-2x}=4xe^{-2x}+2e^{-2x}[/tex]

[tex](ye^{-2x})'=4xe^{-2x}+2e^{-2x}[/tex]

[tex]\int({ye^{-2x}})'=\int4xe^{-2x}dx+\int2e^{-2x}dx[/tex]

[tex]ye^{-2x}=-2e^{-2x}(x+1)+C[/tex]

[tex]y(x)=\frac{-2e^{-2x}(x+1)+C}{e^{-2x}}=Ce^{2x}-2(x+1)[/tex]

Oppgave 2 går under samme regnemåten.

Skulle gjerne ha svart på 3 og 4, men har noe jeg må rekke, så dette var alt jeg kunne si i farta

[Gjest]

[tex]\int({ye^{-2x}})'=\int4xe^{-2x}dx+\int2e^{-2x}dx[/tex]

[tex]ye^{-2x}=-2e^{-2x}(x+1)+C[/tex]

[tex]y(x)=\frac{-2e^{-2x}(x+1)+C}{e^{-2x}}=Ce^{2x}-2(x+1)[/tex]

Er det mulig å spørre om hvordan du kom fram til [tex]ye^{-2x}=-2e^{-2x}(x+1)+C[/tex]?? forsto fremgangsmåten helt til der

[Janhaa]

[tex]\int({ye^{-2x}})'=\int4xe^{-2x}dx+\int2e^{-2x}dx[/tex]
[tex]ye^{-2x}=-2e^{-2x}(x+1)+C[/tex]
[tex]y(x)=\frac{-2e^{-2x}(x+1)+C}{e^{-2x}}=Ce^{2x}-2(x+1)[/tex]

Er det mulig å spørre om hvordan du kom fram til [tex]ye^{-2x}=-2e^{-2x}(x+1)+C[/tex]?? forsto fremgangsmåten helt til der

delvis integrasjon

[Janhaa]

Oppgavene er som følgende:
(3):[tex]xy'=(x+2)y[/tex]
(4):[tex]4y*y'-e^x=0[/tex]

3)
[tex]\int \frac{dy}{y}=\int \frac{x+2}{x}\,dx[/tex]

4)
[tex]4\int y\,dy= \int e^x\,dx[/tex]

[Gjest]

Oppgavene er som følgende:
(3):[tex]xy'=(x+2)y[/tex]
(4):[tex]4y*y'-e^x=0[/tex]

3)
[tex]\int \frac{dy}{y}=\int \frac{x+2}{x}\,dx[/tex]

4)
[tex]4\int y\,dy= \int e^x\,dx[/tex]

Prøvd å løse oppgave 2 og 3 på samme måte, men stopper opp på oppgave 2 stoppa jeg opp på delvis integrasjon, mens på oppgave 3 ender jeg opp med en ikke seperat y.

Har prøvd å løse det selv siden igår, men har brukt nå ca 9 timer og fortsatt ikke kommet til noe svar, ville ha satt pris på om jeg kunne få hjelp med hva jeg har gjort feil

[DennisChristensen]

Oppgavene er som følgende:
(3):[tex]xy'=(x+2)y[/tex]
(4):[tex]4y*y'-e^x=0[/tex]

3)
[tex]\int \frac{dy}{y}=\int \frac{x+2}{x}\,dx[/tex]

4)
[tex]4\int y\,dy= \int e^x\,dx[/tex]

Prøvd å løse oppgave 2 og 3 på samme måte, men stopper opp på oppgave 2 stoppa jeg opp på delvis integrasjon, mens på oppgave 3 ender jeg opp med en ikke seperat y.

Har prøvd å løse det selv siden igår, men har brukt nå ca 9 timer og fortsatt ikke kommet til noe svar, ville ha satt pris på om jeg kunne få hjelp med hva jeg har gjort feil

Oppgave 2
Bruk delvis integrasjon to ganger.
$$y + 2y = 8x^2$$ $$\frac{d}{dx}\left(ye^{2x}\right) = 8x^2e^{2x}$$ $$ye^{2x} = \int 8x^2e^{2x} dx = \left[8x^2\cdot\frac12e^{2x}\right] - \int16x\cdot\frac12e^{2x} dx = 4x^2e^{2x} - 8\bigg\{\left[\frac12xe^{2x}\right] - \frac12\int e^{2x} dx\bigg\} = 4x^2e^{2x} - 4xe^{2x} + 2e^{2x} + C,\text{ } C\in\mathbb{R}$$ $$y(x) = 4x^2 - 4x + 2 + Ce^{-2x}.$$


Oppgave 3
Du må separere variablene før du integrerer.
$$xy' = \left(x+2\right)y$$ $$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{x+2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$$ $$\int \frac{1}{y} dy = \int \left(1 + \frac{2}{x}\right) dx$$ $$ \ln |y| = x + 2\ln |x| + C,\text{ } C \in \mathbb{R}$$ $$ y(x) = \exp\left(x + 2\ln|x| + C\right) = Dx^2e^x, \text{ } D = e^C.$$

[Gjest]

Tusen takk for alle fremgangsmåtene og løsningsforslagene, har nå blitt ferdig med hele integrasjons kapittelet takket være dere Skulle ønske boka kunne forklare like godt >.<