trignometrisk likning

[Gjest]

[tex]\sqrt{3}\sin (x)+\cos (x)=c[/tex] , [tex]x \in \left [ 0, 2 \pi \right ][/tex].
For hvilke verdier av [tex]c[/tex] har denne likningen én løsning to løsninger og null løsninger


Noen som har noen tips her siden jeg kommer bare så langt:

omformer likninga til denne formen her
[tex]2sin(x+\frac{\pi}{6})=c[/tex]

[tex]sin(x+\frac{\pi}{6})=\frac{c}{2}[/tex]

[tex]x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}\left ( \frac{c}{2} \right )+2\pi n[/tex]

eller

[tex]x+\frac{\pi}{6}=\left (\pi-sin^{-1}\left ( \frac{c}{2} \right ) \right )+2\pi n[/tex]

men her sitter jeg litt fast

Da oppgaven spør etter 1, 2 og 0 løsninger kan jeg tenke meg at oppgaver legger til rette for å utlede abc-formelen og dermed betrakte radikanden?

vet i allefall at [tex]sinx \in \left [ -1,1 \right ][/tex], så dermed kan ikke [tex]c>\sqrt{3} \vee c<-\sqrt{3}[/tex], da får vel vi ingen løsninger,

man får 1 løsning hvis [tex]\phi= \frac{\pi}{2}[/tex] ? men veldig usikker på fremgangsmåte her.

[DennisChristensen]

[tex]\sqrt{3}\sin (x)+\cos (x)=c[/tex] , [tex]x \in \left [ 0, 2 \pi \right ][/tex].
For hvilke verdier av [tex]c[/tex] har denne likningen én løsning to løsninger og null løsninger


Noen som har noen tips her siden jeg kommer bare så langt:

omformer likninga til denne formen her
[tex]2sin(x+\frac{\pi}{6})=c[/tex]

[tex]sin(x+\frac{\pi}{6})=\frac{c}{2}[/tex]

[tex]x+\frac{\pi}{6}=sin^{-1}\left ( \frac{c}{2} \right )+2\pi n[/tex]

eller

[tex]x+\frac{\pi}{6}=\left (\pi-sin^{-1}\left ( \frac{c}{2} \right ) \right )+2\pi n[/tex]

men her sitter jeg litt fast

Da oppgaven spør etter 1, 2 og 0 løsninger kan jeg tenke meg at oppgaver legger til rette for å utlede abc-formelen og dermed betrakte radikanden?

vet i allefall at [tex]sinx \in \left [ -1,1 \right ][/tex], så dermed kan ikke [tex]c>\sqrt{3} \vee c<-\sqrt{3}[/tex], da får vel vi ingen løsninger,

man får 1 løsning hvis [tex]\phi= \frac{\pi}{2}[/tex] ? men veldig usikker på fremgangsmåte her.

Vi skriver likningen som $$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{c}{2}.$$ La $y = x + \frac{\pi}{6}$ og $d = \frac{c}{2}$. Vi ønsker å vite hvor mange løsninger likningen $$\sin y = d,\text{ }\text{ } y \in \left[\frac{\pi}{6}, 2\pi + \frac{\pi}{6}\right]$$ har for ulike verdier for $d$.

Vi kan umiddelbart konkludere med at likningen har null reelle løsninger når $|d| > 1$, slik du alluderte til.

I tilfellet hvor $|d| \leq 1$ bruker vi enhetssirkelen. Vi ser at likningen har én løsning når $d = 1$ eller $d = -1$ (nemlig henholdsvis $y = \frac{\pi}{2}$ og $y = \frac{3\pi}{2}$), tre løsninger når $d = \frac12$ (nemlig $y = \frac{\pi}{2}, \pi - \frac{\pi}{6}, 2\pi + \frac{\pi}{6}$) og ellers to løsninger.

Dermed får vi at den originale likningen har $$ \begin{Bmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{Bmatrix} \text{ løsninger når } \begin{Bmatrix} |c| > 2 \\ c = \pm 2 \\ c \in \left(-2, 1\right) \cup \left(1, 2\right) \\ c = 1 \end{Bmatrix}. $$

[Gjest]

men når [tex]d=1[/tex]

blir det ikke

[tex]siny=d\Rightarrow siny=1[/tex]


[tex]x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex]


dvs 1 løsning?

[Gjest]

men når [tex]d=1[/tex]

blir det ikke

[tex]siny=d\Rightarrow siny=1[/tex]


[tex]x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex]


dvs 1 løsning?

jeg bare kødda, så det nå

takk! har du noen tips for hvordan man skal angripe slike oppgaver?

[DennisChristensen]

men når [tex]d=1[/tex]

blir det ikke

[tex]siny=d\Rightarrow siny=1[/tex]


[tex]x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}[/tex]


dvs 1 løsning?

jeg bare kødda, så det nå

takk! har du noen tips for hvordan man skal angripe slike oppgaver?

Det er kun én løsning for $d = 1$, ja. Se nøye på enhetssirkelen, så ser du det nok.

En slik oppgave som dette er jo noe av det mest krevende som forventes innen trigonometrien i R2, nettopp fordi oppgaven krever god kontroll over manipulasjon av trigonometriske uttrykk, trigonometriske likninger og forståelse av enhetssirkelen. Mitt råd vil være å lete etter sammenhenger mellom de algebraiske uttrykkene du skriver ned og geometrien i enhetssirkelen, og å gjøre mange oppgaver.