skalar

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
mattenøtta

vektorene a = [8,-3] og b = [1,5] spenner ut et parallellogram. finn arealet av parallellogrammet.

Jeg har funnet |a| = sqrt(73) og |b|= sqrt(26), men vet ikke hva jeg skal gjøre videre? Formelen for arealet av et parallellogram er jo g*h, som betyr at jeg må bruke skalarproduktet for å finne en vektor som står vinkelrett på en av grunnlinjene? Jeg skjønner bare ikke hvordan jeg skal gjøre dette, siden jeg får helt feil svar når jeg prøver.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

mattenøtta skrev:vektorene a = [8,-3] og b = [1,5] spenner ut et parallellogram. finn arealet av parallellogrammet.

Jeg har funnet |a| = sqrt(73) og |b|= sqrt(26), men vet ikke hva jeg skal gjøre videre? Formelen for arealet av et parallellogram er jo g*h, som betyr at jeg må bruke skalarproduktet for å finne en vektor som står vinkelrett på en av grunnlinjene? Jeg skjønner bare ikke hvordan jeg skal gjøre dette, siden jeg får helt feil svar når jeg prøver.
Som sagt trenger vi å finne høyden $h$ av parallellogrammet. Nå, vinkelen $\theta$ mellom $\vec{a}$ og $\vec{b}$ tilfredsstiller at $$\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{8 - 15}{\sqrt{8^2 + (-3)^2}\sqrt{1^2 + 5^2}} = \frac{-7}{\sqrt{73\cdot 26}}= -\frac{7}{\sqrt{1898}}$$

Derfor har vi at $$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{49}{1898} = \frac{1849}{1898}.$$ Altså, $$\sin \theta = \frac{43}{\sqrt{1898}}.$$

Høyden $h$ er dermed (se tegningen) gitt ved $$h = |\vec{b}|\sin\theta = \sqrt{26}\cdot\frac{43}{\sqrt{1898}} = \frac{43}{\sqrt{73}},$$

Så arealet $A$ er gitt ved $$A = |\vec{a}|h = \sqrt{73}\cdot\frac{43}{\sqrt{73}} = 43.$$
Vedlegg
IMG_2297.JPG
IMG_2297.JPG (534.28 kiB) Vist 776 ganger
Svar