Geometrisk rekke oppgave

[Gjest]

Skal vise at følgende uendelig geometrisk rekke som er gitt ved


[tex]16+\frac{8}{cosx}+\frac{4}{cos^2x}+..., x \in \left \langle -\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3} \right \rangle[/tex]


Oppgaven spør om å begrunne at rekken vil konvergere for alle x i den oppgitte definisjonsmengden,

Jeg tenkte at

en uendelig geometrisk rekke konvergerer når [tex]k\in \left \langle -1,1 \right \rangle\Rightarrow -1<k<1[/tex]

[tex]k=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\frac{8}{cosx}}{16}=\frac{1}{2cosx}[/tex]

Men sitter fast når jeg skal finne konveringsområdet (eller er det nødvendig i oppgaven)?

[tex]-1<k\Rightarrow -1<\frac{1}{2cosx}\Leftrightarrow 0<\frac{2cosx+1}{cosx}[/tex]

og [tex]k<1\Rightarrow \frac{1}{2cosx}<1\Leftrightarrow \frac{1-2cosx}{2cosx}<0[/tex]

Så sliter jeg med fortegnslinjene pga. jeg ikke har definisjonsmengden? jeg kan ikke bruke at [tex]x \in \left \langle -\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3} \right \rangle[/tex] i fortengsskjema, fordi dette er noe jeg skal vise,

skal jeg bare putte x verdiene inn i k og se at k er element i fra -1 til 1 ?

[DennisChristensen]

Skal vise at følgende uendelig geometrisk rekke som er gitt ved


[tex]16+\frac{8}{cosx}+\frac{4}{cos^2x}+..., x \in \left \langle -\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3} \right \rangle[/tex]


Oppgaven spør om å begrunne at rekken vil konvergere for alle x i den oppgitte definisjonsmengden,

Jeg tenkte at

en uendelig geometrisk rekke konvergerer når [tex]k\in \left \langle -1,1 \right \rangle\Rightarrow -1<k<1[/tex]

[tex]k=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\frac{8}{cosx}}{16}=\frac{1}{2cosx}[/tex]

Men sitter fast når jeg skal finne konveringsområdet (eller er det nødvendig i oppgaven)?

[tex]-1<k\Rightarrow -1<\frac{1}{2cosx}\Leftrightarrow 0<\frac{2cosx+1}{cosx}[/tex]

og [tex]k<1\Rightarrow \frac{1}{2cosx}<1\Leftrightarrow \frac{1-2cosx}{2cosx}<0[/tex]

Så sliter jeg med fortegnslinjene pga. jeg ikke har definisjonsmengden? jeg kan ikke bruke at [tex]x \in \left \langle -\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3} \right \rangle[/tex] i fortengsskjema, fordi dette er noe jeg skal vise,

skal jeg bare putte x verdiene inn i k og se at k er element i fra -1 til 1 ?

Ettersom $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac12$ ser vi på enhetssirkelen (vedlegg) at $x\in\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right) \Rightarrow \cos x > \frac12.$

Dermed har vi at $$|k| = |\frac{1}{2\cos x}| < \frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}} = 1,$$ så rekken konvergerer.

[Gjest]

Hei, takk for svar og et fint bilde!

Men jeg vet ikke om helt forstår

skal vi finne ut at konvergeringsverdien til rekka, eller bruke den oppgitte definisjonsmengden til å argumentere at rekka konvergerer?

Du representerer et uttrykk som ikke jeg er bekjent med, men er det slik at


[tex]-1<k<1\Leftrightarrow \left | k \right |<1\Leftrightarrow k^2<1[/tex]


Hvis jeg har forstått det nå.

siden vi har at [tex]cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}[/tex]
så ser vi at så lenge [tex]x \in \left \langle -\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3} \right \rangle[/tex] så kan ikke [tex]cos(x)=\frac{1}{2}[/tex], men litt mindre, og hvis vi setter denne verdien inn i uttrykket du presenterer

[tex]\left | k \right |<1\Rightarrow \left |\frac{1}{2*cos(\frac{\pi}{3})} \right |=1[/tex]

Dermed konvergerer den siden x kan ikke være pi/3, men mindre og dette utrykket vil være mindre 1

har jeg skjønt d?

[DennisChristensen]

Hei, takk for svar og et fint bilde!

Men jeg vet ikke om helt forstår

skal vi finne ut at konvergeringsverdien til rekka, eller bruke den oppgitte definisjonsmengden til å argumentere at rekka konvergerer?

Du representerer et uttrykk som ikke jeg er bekjent med, men er det slik at


[tex]-1<k<1\Leftrightarrow \left | k \right |<1\Leftrightarrow k^2<1[/tex]


Hvis jeg har forstått det nå.

siden vi har at [tex]cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}[/tex]
så ser vi at så lenge [tex]x \in \left \langle -\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3} \right \rangle[/tex] så kan ikke [tex]cos(x)=\frac{1}{2}[/tex], men litt mindre, og hvis vi setter denne verdien inn i uttrykket du presenterer

[tex]\left | k \right |<1\Rightarrow \left |\frac{1}{2*cos(\frac{\pi}{3})} \right |=1[/tex]

Dermed konvergerer den siden x kan ikke være pi/3, men mindre og dette utrykket vil være mindre 1

har jeg skjønt d?

Før vi kan finne noen eventuell grenseverdi for rekken må vi først se om rekken i det hele tatt konvergerer. Vi må altså rettferdiggjøre at rekken vår konvergerer når $x$ er i den gitte definisjonsmengden, altså når $x \in \left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)$.

En geometrisk rekke på formen $$a + ak + ak^2 + ak^3 + \dots + ak^n$$ konvergerer når $n \rightarrow \infty$ hvis og bare hvis $|k| < 1$.

I eksempelet vårt har vi at $k = \frac{1}{2\cos x}.$ Dermed må vi sjekke at hvis $x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$, så får vi at $|k| = |\frac{1}{2\cos x}| < 1$. Fra enhetssirkelen ser vi at hvis $x \in \left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)$ så er $\cos x > \frac12$. Dermed er $|\cos x| > \frac12$, så $|\frac{1}{\cos x}| < 2$ Altså får vi at $|\frac{1}{2\cos x}| < 1,$ hvilket beviser at rekken konvergerer for alle $x \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$

[Gjest]

ok takk!

er det forresten mulig å løse ulikheten

[tex]-1<\frac{1}{2cosx}<1[/tex]


å komme frem til riktig konveringsverdi?

for meg stopper det opp, fordi jeg vet ikke hvilke definisjonsmengde jeg skal bruke når jeg ska finne nullpnkt på fortegnsskjema?

[DennisChristensen]

ok takk!

er det forresten mulig å løse ulikheten

[tex]-1<\frac{1}{2cosx}<1[/tex]


å komme frem til riktig konveringsverdi?

for meg stopper det opp, fordi jeg vet ikke hvilke definisjonsmengde jeg skal bruke når jeg ska finne nullpnkt på fortegnsskjema?

Ja, se på enhetssirkelen.

Løsning:

[+] Skjult tekst

$$-1 < \frac{1}{2\cos x} < 1 \iff x\in\left(-\frac{\pi}{3} + \pi n,\frac{\pi}{3} + \pi n\right),$$ der $n \in\mathbb{Z}.$