matematikk.net

skal bevise at


[tex]500+100+20+4+...4*5^{4-n}=625-5^{4-n}[/tex]


Trinn 1: viser for [tex]n=1[/tex]

Venstre side: [tex]500[/tex]

Høyre side: [tex]625-5^{4-1}=625-5^{3}=625-125=500[/tex]

Ser at venstre side= høyre side

Trinn 2: Antar det stemmer for et vilkårlig tall [tex]n=t[/tex]

[tex]500+100+20+4+4*5^{4-t}=625-5^{4-t}[/tex]

Skal vise at det da stemmer for [tex]n=t+1[/tex]

Sjekker først høyre side:

[tex]500+100+20+4+...4*5^{4-t}+4*5^{4-(t+1)}=625-5^{4-(t+1)}=625-5^{3-t}[/tex]

Sjekker venstre side:

[tex]500+100+20+4+...4*5^{4-t}+4*5^{4-(t+1)}=625-5^{4-t}+4*5^{4-(t+1)}=625-5^{4-t}+4*5^{3-t}[/tex]


Her sitter jeg fast, hvordan skal jeg vise at

[tex]625-5^{4-t}+4*5^{3-t}=625-5^{3-t}[/tex] ?

Vet ikke om dette er helt valid måte å gjøre det på, men jeg tenkte at siden denne rekka er geometrisk med [tex]k=\frac{1}{5}[/tex]

kan jeg også tenke slik: [tex]a_n+a_{n+1}=a_{n}+a_{n}*k=625-5^{4-t}+(625-5^{4-t})*5^{-1}[/tex]

sitter fast

Litt algebra magic







[tex]625-5^{4-t}+4*5^{3-t}=625-5^2*5^{2-t}+4*5^{1}*5^{2-t}=625-5^{2-t}\left ( 5^2-4*5 \right )=625-5^{2-t}(25-20)=625-5^{2-t}*5=625-^{3-t}[/tex]