Resten ved Divisjon - Matte X

[Gjest]

Hei og hopp!
Jeg driver på med følgende oppgave, og jeg lurer på om jeg løser oppgaven riktig, tenker riktig osv.

Vis at [tex]17[/tex] går opp i [tex]35^12-1[/tex].

Aller først vil jeg poengtere at divisjonen [tex]x:n[/tex] går opp hvis og bare hvis resten [tex]r=0[/tex], som er opplagt.
Dette betyr dermed også at divisjonen [tex]x:n[/tex] går opp hvis og bare hvis [tex]x\equiv o(mod n)[/tex]. Akkurat dette bruker jeg som en påminnelse for hva som er målet i oppgaven ovenfor.

Jeg starter slik:

[tex]35=2\cdot 17+1[/tex]
Vi ser at resten er [tex]r=1[/tex]. Ettersom [tex]0\leq r\leq 17[/tex] kan vi skrive at

[tex]35\equiv 1(mod 17)[/tex]

Bruker følgende regel: [tex]x^k\equiv a^k (mod n)[/tex]

[tex]35^12\equiv 1^12 (mod 17)[/tex]

Nå bruker jeg følgende regel: [tex]x+b\equiv a+b (mod n)[/tex] der b er et helt tall, og kan både være positivt eller negativt.

[tex]35^12-1\equiv 1-1 (mod 17)[/tex]

[tex]35^12-1\equiv 0 (mod 17)[/tex]

Vi har dermed kommet frem til at resten er lik null, og vi har vist at [tex]17[/tex] går opp i [tex]35^12-1[/tex].

Tusen takk!

[Gjest]

Uff, jeg ser nå at Latexen er litt ødelagt. Det skal selvfølgelig stå 35 opphøyd i 12, og ikke det tullet jeg skrev opp.