Kan du løse denne sannsynlighetsoppgaven? Tviler (Vanskelig)

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Enth
Cantor
Cantor
Innlegg: 109
Registrert: 16/10-2014 17:24

Oppgave 9 (6 poeng)
I ei eske ligger det 40 røde og 60 blå kuler. Vi trekker tilfeldig 10 av dem.
a) Finn sannsynligheten for at vi trekker 5 røde og 5 blå kuler hvis vi trekker uten tilbakelegging.
b) Nå trekker vi de 10 kulene på denne måten: Vi trekker ei og ei kule og legger kula tilbake i eska før vi trekker neste kule.
1) Finn sannsynligheten for at vi nå trekker 5 røde og 5 blå kuler.
2) Finn sannsynligheten for at antallet røde kuler er 5 når vi vet at vi har trukket minst 4 røde kuler.
----------------
Trenger hjelp til disse sannsynlighetsoppgavene. På oppgave a) Det er uten tilbakelegging, så da har jo rekkefølge noe å si. Men skjønner ikkje hvordan jeg finner ut av disse oppgavene. Vi trekker jo 10 stykk. Sannsynligheten for å trekke røde er da 4/10 og for å trekke blå er 6/10. Er det slik at man skal først trekke 5 røde og deretter 5 blå? Jeg skjønner ingenting
blomsterfinn

9 a) her kan du bruke hypergeometrisk metode. over brøkstreken setter du 40C5 * 60C5. under brøkstreken setter du 100C10.
b) 1: P(rød)=40/100=4/10=2/5. så setter du inn i formelen for binomiske forsøk. P(X=5)= 10C5*(2/5)^5*(1-2/5)^5.
2 forstår jeg ikke.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Enth skrev:Oppgave 9 (6 poeng)
I ei eske ligger det 40 røde og 60 blå kuler. Vi trekker tilfeldig 10 av dem.
a) Finn sannsynligheten for at vi trekker 5 røde og 5 blå kuler hvis vi trekker uten tilbakelegging.
b) Nå trekker vi de 10 kulene på denne måten: Vi trekker ei og ei kule og legger kula tilbake i eska før vi trekker neste kule.
1) Finn sannsynligheten for at vi nå trekker 5 røde og 5 blå kuler.
2) Finn sannsynligheten for at antallet røde kuler er 5 når vi vet at vi har trukket minst 4 røde kuler.
----------------
Trenger hjelp til disse sannsynlighetsoppgavene. På oppgave a) Det er uten tilbakelegging, så da har jo rekkefølge noe å si. Men skjønner ikkje hvordan jeg finner ut av disse oppgavene. Vi trekker jo 10 stykk. Sannsynligheten for å trekke røde er da 4/10 og for å trekke blå er 6/10. Er det slik at man skal først trekke 5 røde og deretter 5 blå? Jeg skjønner ingenting
a) Vi har en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. $$\mathbb{P}\left(5\text{ røde og }5\text{ blå}\right) = \frac{{40 \choose 5}{60 \choose 5}}{{100 \choose 10}} \approx 0.2076.$$

b) 1) Vi har tilbakelegging, så vi bruker binomisk sannsynlighetsfordeling. $$\mathbb{P}\left(5\text{ røde og }5\text{ blå}\right) = {10\choose 5}\left(\frac{40}{100}\right)^5\left(\frac{60}{100}\right)^5 \approx 0.2007.$$

2) Bayes' setning gir at $$\mathbb{P}\left(5\text{ røde }|\text{ minst }4\text{ røde}\right) = \frac{\mathbb{P}\left(\text{minst }4\text{ røde }|\text{ }5\text{ røde}\right)\mathbb{P}\left(5\text{ røde}\right)}{\mathbb{P}\left(\text{minst }4\text{ røde}\right)} = \frac{\mathbb{P}\left(5\text{ røde}\right)}{\mathbb{P}\left(\text{minst }4\text{ røde}\right)}.$$

Nå, $\begin{align*} \mathbb{P}\left(\text{minst }4\text{ røde}\right) & = 1 - \mathbb{P}\left(\text{max }3\text{ røde}\right) \\
& = 1 - \mathbb{P}\left(0\text{ røde}\right) - \mathbb{P}\left(1\text{ røde}\right) - \mathbb{P}\left(2\text{ røde}\right) - \mathbb{P}\left(3\text{ røde}\right) \\
& = 1 - {10\choose 0}\left(\frac{40}{100}\right)^0\left(\frac{60}{100}\right)^{10} - {10\choose 1}\left(\frac{40}{100}\right)^1\left(\frac{60}{100}\right)^9 - {10\choose 2}\left(\frac{40}{100}\right)^2\left(\frac{60}{100}\right)^8 - {10\choose 3}\left(\frac{40}{100}\right)^3\left(\frac{60}{100}\right)^7\end{align*}$

Dermed får vi at $$\mathbb{P}\left(5\text{ røde }|\text{ minst }4\text{ røde}\right) = \frac{{10\choose 5}\left(\frac{40}{100}\right)^5\left(\frac{60}{100}\right)^5}{1 - {10\choose 0}\left(\frac{40}{100}\right)^0\left(\frac{60}{100}\right)^{10} - {10\choose 1}\left(\frac{40}{100}\right)^1\left(\frac{60}{100}\right)^9 - {10\choose 2}\left(\frac{40}{100}\right)^2\left(\frac{60}{100}\right)^8 - {10\choose 3}\left(\frac{40}{100}\right)^3\left(\frac{60}{100}\right)^7\left(\frac{60}{100}\right)^6} \approx 0.1950.$$
Svar