R2 Terminprøve

[Skanin]

Hei!
Hadde terminprøve i R2 i dag, legger den ut her, om noen er interessert i litt ekstra øvestoff til sin terminprøve
Veldig kult om noen vil lage et løsningsforslag også!

[Drezky]

mange oppgaver som er identisk med vår

som f.eks.

oppgave 3,4,5 del 1 og 1,3,4 del 2 =)

[Drezky]

LØSNINGSFORSLAG



1

a

[tex]f(x)=2\cos (2x)[/tex]

[tex]f'(x)=2*2*-\sin(2x)=-4 \sin (2x)[/tex]

b

[tex]g(x)=e^{-x^2}[/tex]

[tex]g'(x)=(-x^2)'*e^{-x^2}=-2xe^{-x^2}[/tex]

2

a

[tex]\int (x^2-2x+4)dx=\frac{1}{3}x^3-x^2+4x+C[/tex]

[tex]\int_{0}^{2}(x^3-2x+4)dx=\left [ \frac{1}{3}x^3-x^2+4x \right ]_{0}^{2}=8[/tex]

b

[tex]\int x*\sin 2x \, dx[/tex]
[tex]v=x \Longrightarrow \, v'=1[/tex]
[tex]u'=\sin(2x) \Longrightarrow \, u=-\frac{1}{2}\cos(2x)[/tex]

[tex]\int u'*v=u*v-\int u*v' dx[/tex]

[tex]\int x*\sin 2x \, dx=x*-\frac{1}{2}\cos(2x)-\int (-\frac{1}{2}\cos(2x)*1)dx[/tex]
= [tex]- \frac{x}{2} \cos(2x)+\frac{1}{2}*\frac{1}{2}\sin(2x)+C[/tex]

=[tex]-\frac{1}{2}(x \cos(2x) -\frac{1}{2}\ sin (2x)[/tex]+C


3

a

[tex]\vec{AB}=[2,-4,3][/tex]

[tex]\vec{AC}=[0,2,-2][/tex]

[tex]\vec{n}=\vec{AB} \times \vec{AC}=[2,4,4]=2[1,2,2][/tex]

Dermed: [tex]x+2y+2z+d=0[/tex] Sett inn f.eks.[tex]A(1,1,1)[/tex]
[tex]1+2*1+2*1+d=0[/tex]
[tex]d=-5[/tex]

Q.E.D.

b

[tex]A=\frac{1}{2}\left |(\vec{AB} \times \vec{AC} \right |[/tex]=[tex]\frac{1}{2}*6=3[/tex]

c

[tex]\vec{AD}=[2t-1,t-1,2t-1][/tex]

[tex]V=\frac{1}{6}* \left | \vec{n}*\vec{AD} \right |=\frac{1}{6} \left |16t-10 \right |[/tex]


[tex]D[/tex] innsatt i [tex]\alpha[/tex] gir :


[tex]2t+2t+2(2t)-5=0 \Longleftrightarrow t= \frac{5}{8}[/tex] ^^ i volum



4

a

[tex]f(x)=3\cos (2x)=0\Longleftrightarrow 2x=\pm \frac{\pi}{2}+2\pi k \Longleftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi k[/tex]

[tex]x \in \left \langle 0, 2 \pi \right \rangle[/tex] gir:

[tex]x=\frac{\pi}{4}, x=\frac{3\pi}{4},x=\frac{5 \pi}{4},x=\frac{7\pi}{4}[/tex]

[tex]f'(x)=\left ( 3 \cos (2x) \right )'=3*2*-\sin (2x)=-6 \sin (2x)[/tex]

[tex]f'(x)=0 \Longleftrightarrow 2x=0+2\pi k \Longleftrightarrow x=\pi k \vee x=\frac{\pi}{2}+\pi k[/tex]

[tex]x \in \left \langle 0, 2 \pi \right \rangle[/tex] gir:

[tex]x=\frac{\pi}{2},x=\pi, x=\frac{3\pi}{2}[/tex]

Finn maksimalverdien ved: [tex]\cos (x) \in [-1,1][/tex] og såleis --> fortegnslinje..


c)

Bruk ekstremalpunkt, likevektslinje y=0, amplitude=3 , periode = [tex]\pi[/tex] og faseforskyvningen



5

a

[tex]k=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{9x^2}{3x}=\frac{3x}{1}=3x[/tex]

[tex]\left | k \right |<1\Longleftrightarrow k^2<1\Longleftrightarrow 9x^2<1\Longleftrightarrow (3x-1)(3x+1)<0[/tex]

[tex](3x-1)<0\Rightarrow \left \{ x<\frac{1}{3} \right \}[/tex]

[tex](3x+1)<0\Rightarrow \left \{ -\frac{1}{3}>x \right \}[/tex]

Dvs. konvergeringsområdet: [tex]x\in \left \langle -\frac{1}{3},\frac{1}{3} \right \rangle[/tex]

Ettersom den konvergerer er summen gitt ved:

[tex]s(x)=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-3x}[/tex]

[tex]s(x)=\frac{3}{2}=\frac{1}{1-3x}\Longleftrightarrow 1-3x=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1}{9}[/tex]

Som for øvrig er i konvergeringsområdet, ergo summen finnes,

c

Trinn 1 : viser at det stemmer for [tex]n=1[/tex]

[tex]VS=1[/tex], [tex]HS=\frac{3^1-1}{2}=\frac{2}{2}=1[/tex] check

Trinn 2: antar at det stemmer for n=t

[tex]1+3+9+...+3^{t-1}=\frac{3^t-1}{2}[/tex]

Skal vise at det da stemmer for [tex]n=t+1[/tex]

HS:

[tex]1+3+9+...+3^{t-1}+3^{(t+1)-1}=\frac{3^{t+1}-1}{2}[/tex]

BEVIS:

VS:

[tex]{\color{Red} {1+3+9+...+3^{t-1}+}}3^{(t+1)-1}=[/tex]

[tex]{\color{Red} {\frac{3^{t}-1}{2}}}+3^{(t+1)-1}={\color{Red} {\frac{3^{t}-1}{2}}}+\frac{3^t*2}{2}=\frac{3^{t}-1+{\color{Blue} {2}}*3^{t}}{2}=\frac{3^t-1+({\color{Blue} {3-1})*3^t}}{2}=\frac{3^t-1+3^{t+1}-3^t}{2}=\frac{3^{t+1}-1}{2}[/tex]

CHECK


6

a

[tex]y'+xy=x[/tex]

[tex]y'=x-xy\Rightarrow y'=x(1-y)\Leftrightarrow \frac{1}{1-y}y'=x[/tex]

[tex]\int \left ( \frac{1}{1-y} \right )dy=\int xdx[/tex]

[tex]\ln\left |1-y \right |=\frac{1}{2}x^2+C\Rightarrow \left | 1-y \right |=e^{\frac{1}{2}x^2+C}[/tex]

[tex]1-y=\pm e^{C}*e^{\frac{1}{2}x^2}\Rightarrow y=1-C_1e^{\frac{1}{2}x^2}[/tex]

[tex]y(0)=0\Rightarrow y=1-C_1=0\Leftrightarrow C_1=1[/tex]

[tex]\boxed {y=1-e^{\frac{1}{2}x^2}}[/tex]


b

[tex]y'=\sqrt{y}x\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{y}}y'=x\Leftrightarrow \int y^{-\frac{1}{2}}dy=\int xdx[/tex]

[tex]2y^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}x^2+C\Leftrightarrow \boxed y={\left (\frac{x^2}{4}+C \right )^2}[/tex]

c

[tex]y''-y=0[/tex]

karakteristisk likning

[tex]r^2-1=0\Leftrightarrow r=\pm 1[/tex]

[tex]y=Ce^{x}+De^{-x}[/tex]

[tex]y(0)=1\Longleftrightarrow C+D=1[/tex]

[tex]y'=Ce^x-De^{-x}[/tex]

[tex]y'(0)=0\Leftrightarrow C-D=0\Leftrightarrow C=D[/tex]

Fikser dette seinere ^^



7

[tex]x^2-4x+y^2-2y+z^2-4z=0[/tex]

[tex]x^2-4x+\left ( \frac{-4}{2} \right )^2+y^2-2y+\left ( \frac{-2}{2} \right )^2+z^2-4z+\left ( \frac{-4}{2} \right )^2=1+2^2+2^2[/tex]

[tex](x-2)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=3^2[/tex]

[tex]S(2,1,2)[/tex] og [tex]r=3[/tex]


8

a

[tex]A=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}g(x)dx+\left | \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}}g(x)dx \right |=1+\left | -\frac{1}{2} \right |=\frac{3}{2}[/tex]

b

[tex]\cos (x+x)=\cos x * \cos x - \sin x * \sin *x[/tex]

[tex]\cos(x+x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x\Leftrightarrow cos^2x=\cos(x+x)+\sin^2x[/tex]

Bruker [tex]\cos^2 x+\sin^2 x=1[/tex]

[tex]cos^2 x= \cos(x+x)+(1-cos^2 x)[/tex]

[tex]2 \cos^2 x= \cos(2x)+1\Rightarrow \cos^2 x=\frac{\cos(2x)}{2}+\frac{1}{2}[/tex]

Dette blir sjølvsagt brukt i beregning av omdreiningslegemet..

[tex]V= \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}g^2dx=\frac{\pi^2}{4}[/tex]


DEL 2

1

a

[tex]vekstfart=økning-reduksjon=0.018-0.023=-0.005[/tex]

Proporsjonalt med innbyggertallet [tex]k*y[/tex] og netto = 20

dvs [tex]y=-0.005y+20[/tex], ved tidspunkt t=0, er det y=2000 innbyggere

(Hadde vært kjekkere hvis vi ble bedt om å finne en differensiallikning som beskriver situasjonen selv)

Orker, ikke, men integrerende faktor [tex]e^{-0.005x}[/tex]

[tex]y=4000-2000e^{-0.005x}[/tex] [tex]y(0)=0[/tex]

[tex]y(5)=2049[/tex]

JA, [tex]\lim x \to \infty y=4000[/tex] etter hvert.


2

orker ikke ....


3


likning 1:

[tex]20a_1+190d=1010[/tex]

[tex]a_1+4d=23[/tex]

[tex]d=5,a_1=3[/tex]


4

a

[tex]\vec{AB}=\left [ 2,-3,0 \right ][/tex]

[tex]\vec{AC}=\left [ 1,1,13 \right ][/tex]

[tex]\vec{AB} \times \vec{AC}=\left [ -9,-6,5 \right ][/tex]

[tex]-9x-6y+5z+d=0[/tex]

Sett inn [tex]B(4,1,0)[/tex]

[tex]-9*4-6*1+5*0+d=0\Leftrightarrow d=42[/tex]

b

Sett inn [tex]P(3,3,\frac{3}{5})[/tex]

[tex]-9*3-6*3+5*\frac{3}{5}=-42[/tex], ja ligger i planet

c

radius er avstanden:

[tex]D=\frac{\left [ 2*3+3-5*\frac{3}{5}-2 \right ]}{\sqrt{2^2+1^2+(-5)^2}}=\frac{2\sqrt{30}}{15}[/tex]


Dvs:

[tex](x-3)^2+(y-3)^2+(z-\frac{3}{5})^2=\left ( \frac{2 \sqrt{30}}{15} \right )^2[/tex]


d

(Lag tegning)

[tex]D=\frac{\left [ \frac{3}{5}*1 \right ]}{\sqrt{1^2}}=\frac{3}{5}[/tex]


[tex]D^2+r^2=\left ( \frac{2\sqrt{30}}{15} \right )^2[/tex]

gir [tex]r=\pm \sqrt{\frac{13}{75}}[/tex]


med forbehold om noen feil ! (brukte ca. 2 timer på alt)

[Skanin]

[quote="Drezky"][/quote]
Herlig, tusen takk!

[Neon]

Det var flere av oppgavene som var prikk like de vi fikk på vår heldagsprøve også. 1,3 og 8 del1, og 2,3 og 4 på del 2. Lærerne henter nok oppgaver fra samme sted.

[Qulla]

Noen andre som har kunne tatt en titt på den terminprøven som er lagt ut og utfylt litt mer på det Drezky har gjort?