R1 eksamen våren 2016, oppg. 3

[IngridR1]

Kan noen forklare meg fremgangsmåten litt bedre enn det det er gjort i løsningsforslaget?
(Spesielt a) og b))

[Bananiel]

Tenker du på del 1?

[Gjest]

Hvor er det du ikke skjønner fra?

[Gjest]

Her for deg, er denne bedre?

[IngridR1]

Tenker du på del 1?

Ja

[IngridR1]

Her for deg, er denne bedre?

Ja! Tusen takk

[IngridR1]

Her for deg, er denne bedre?

Oppg. a) er feil...?

[IngridR1]

Her for deg, er denne bedre?

Oppg. a) er feil...?

Mente ikke "feil", men hva med den siste delen?

[Ant]

[tex]f'(x)= 2xe^{1-x^{2}} -2x^{3}e^{1-x^{2}}=2x(1-x^{2})e^{1-x^{2}}[/tex]

[Bananiel]

Mente ikke "feil", men hva med den siste delen?

Funksjonen [tex]f[/tex] er gitt ved

[tex]f(x)=x^{2}e^{1-x^{2}}[/tex]

a) Vis at [tex]f'(x)=2x(1-x^2)e^{1-x^{2}}[/tex]

[tex]f(x) = x^{2}e^{1-x^{2}}[/tex], vi kjenner til kjerneregelen og produktregelen som brukes til å løse denne.
Vi setter [tex]v = x^{2}[/tex] og [tex]u = e^{1-x^{2}}[/tex]. For å løse [tex]u'[/tex] trenger vi å bruke kjerneregelen, hvor [tex]1-x^{2}[/tex] er kjernen.

Kjerneregelen: [tex]g'(u)\cdot u'[/tex] som i dette tilfellet blir til [tex]e^{1-x^{2}}\cdot 2x = 2e^{1-x^{2}}x[/tex].

Dermed fortsetter vi med produktregelen for å løse hele stykket. Vi kjenner til produktregelen: [tex]u' \cdot v+u\cdot v'[/tex] som til slutt blir [tex]2e^{1-x^{2}}x - 2e^{1-x^{2}} x^{3}[/tex].
Nå trenger vi bare å vise at [tex]2e^{1-x^{2}}x - 2e^{1-x^{2}} x^{3}[/tex] blir til [tex]=2x(1-x^2)e^{1-x^{2}}[/tex]. Dette gjør vi ved å faktorisere.

[Bananiel]

Er det noen som har mulighet til å gå mer i detalj på oppgave b?

[Markus]

Er det noen som har mulighet til å gå mer i detalj på oppgave b?

Eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til f finner vi der [tex]f'(x) = 0[/tex]. Dette fordi tangenten i et toppunkt/bunnpunkt verken stiger eller synker, derav 0.

Hvis det er noen reelle svar for [tex]f'(x) = 0[/tex], vet vi at dette/disse punkt(ene) er et ekstremalpunkt. Du må deretter finne monotoniegenskapene til f, ved å tegne fortegnslinje for alle faktorene i den deriverte funksjonen, for å se om ekstremalpunktet er et topp-/bunnpunkt. Si ifra hvis du ikke vet hvordan du gjør dette, så kan jeg forklare.

[Bananiel]

Takk mattemarkus!

Har som oftest bare vært borte i problemstillinger som eksempelvis [tex]f(x)= (x+1)(x-1)(x+1)[/tex] og ikke noe som [tex]2x(1-x^{2})e^{1-x^{2}}[/tex]. Dermed er jeg fortsatt litt nysgjerrig på hvordan du skal gå frem for å finne monotoniegenskapene til denne.

Ser at at Gjest har skrevet oppgaven for hånd hvor han splitter opp funksjonen i flere biter:

Som f.eks. blir delen [tex](1-x^{2})[/tex][tex]= 0[/tex] til [tex]x = \pm 1[/tex]. Og dermed skal man da finne nullpunktene for disse punktene? For min del hadde dette vært null stress om det dreide seg om [tex]f(x)= (x+1)(x-1)(x+1)[/tex],
men for et litt mer komplisert stykke som [tex]2x(1-x^{2})e^{1-x^{2}}[/tex] blir det fortsatt litt forvirrende med fremgangsmåte. Om du gidder å gå i detalj på dette så hadde jeg vært kjempe takknemlig

[Fysikkmann97]

$e^{kx}$ hvor k er et reelt tall, er positiv for alle x. Derfor kan denne strykes da det ikke endrer noe i et fortegnsskjema.

Da står du igjen med $2x(1-x^2) = 2x(1+x)(1-x)$. Da har du tre nullpunkt til den deriverte, altså $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ og $x_3 = 1$

Sett faktorene inn i et fortegnsskjema, og sjekk for eventuelle ekstremalpunkt.

[Kay]

$e^{kx}$ hvor k er et reelt tall, er positiv for alle x. Derfor kan denne strykes da det ikke endrer noe i et fortegnsskjema.

Da står du igjen med $2x(1-x^2) = 2x(1+x)(1-x)$. Da har du tre nullpunkt til den deriverte, altså $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ og $x_3 = 1$

Sett faktorene inn i et fortegnsskjema, og sjekk for eventuelle ekstremalpunkt.

Du mener vel [tex]2x(1-x^2)=-2x(1+x)(1-x)[/tex]?