Integralregning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Gjest

Hallo. Lurte på om noen kunne hjelpe meg med et problem her.

Når jeg skulle integrere uttrykket 6x/(x^2-1) brukte jeg delbrøksoppspaltning og fikk ut 3ln(|x-1|)-3ln(|x+1|)+C
Da jeg sjekket løsningsforslaget til oppgaven stemte ikke svaret helt overens.
De hadde løst oppaven vha. integrasjon ved variabelskifte, og endte opp med uttrykket 3ln(|x^2-1|)+C.
Er dette samme uttrykk? Og hvis ja, hvorfor gir svarene forskjellige grafer i geogebra?
Hvorfor er det ikke riktig å bruke delbrøksoppspaltning på denne oppgaven?
Drezky
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1023
Registrert: 06/12-2014 17:43

Gjest skrev:Hallo. Lurte på om noen kunne hjelpe meg med et problem her.

Når jeg skulle integrere uttrykket 6x/(x^2-1) brukte jeg delbrøksoppspaltning og fikk ut 3ln(|x-1|)-3ln(|x+1|)+C
Da jeg sjekket løsningsforslaget til oppgaven stemte ikke svaret helt overens.
De hadde løst oppaven vha. integrasjon ved variabelskifte, og endte opp med uttrykket 3ln(|x^2-1|)+C.
Er dette samme uttrykk? Og hvis ja, hvorfor gir svarene forskjellige grafer i geogebra?
Hvorfor er det ikke riktig å bruke delbrøksoppspaltning på denne oppgaven?


[tex]\int \frac{6x}{x^2-1}dx[/tex]

[tex]u=x^2-1\Rightarrow \frac{du}{dx}=2x\Leftrightarrow dx=\frac{du}{2x}[/tex]

[tex]\int \frac{6x}{u}\frac{du}{2x}=3\int \frac{1}{u}du=3 \ln \left | u \right |+C=3\ln \left | x^2-1 \right |+C[/tex]


[tex]\frac{6x}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}[/tex]

[tex]6x=A(x+1)+B(x-1)[/tex]


[tex]x=1[/tex] gir [tex]A=3[/tex] og [tex]x=-1[/tex] gir [tex]B=3[/tex]

[tex]\int \frac{6x}{x^2-1}dx=\int \left ( \frac{3}{x-1}+\frac{3}{x+1} \right )dx=3\ln \left | x-1 \right |+3 \ln \left | x+1 \right |+C[/tex]

Bruk at [tex]\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)[/tex]

[tex]3\ln\left | (x+1)(x-1) \right |+C=3\ln\left | x^2-1 \right |+C[/tex]
[tex]i*i=-1[/tex]



Omnia mirari etiam tritissima - Carl von Linné
( Find wonder in all things, even the most commonplace.)

Det er åpning og lukking av ionekanaler i nerveceller som gjør det mulig for deg å lese dette.
Gjest

Nice utført Drezky :P You rock! :)
Svar