matematikk.net

[tex]2xy'-3y-2=0[/tex]
Jeg vet at seperabel måten funker her, men burde ikke integrerende faktor også funke?

Siden vi har [tex]y'-\frac{3}{2x}y=\frac{1}{x}[/tex] og formelen sier: [tex]y'+f(x)y=g(x)?[/tex]
Jeg får i hvertfall to helt forskjellige svar

Gjest skrev:[tex]2xy'-3y-2=0[/tex]
Jeg vet at seperabel måten funker her, men burde ikke integrerende faktor også funke?

Siden vi har [tex]y'-\frac{3}{2x}y=\frac{1}{x}[/tex] og formelen sier: [tex]y'+f(x)y=g(x)?[/tex]
Jeg får i hvertfall to helt forskjellige svar

Ved seperasjon:

$$2x\frac{dy}{dx} = 3y + 2$$ $$2\int\frac{dy}{3y+2} = \int\frac{dx}{x}$$ $$\frac23\ln|3y + 2| = \ln|x| + \text{konstant}$$ $$(3y+2)^{\frac{2}{3}} = \text{konstant}\cdot x$$ $$3y+ 2 = \text{konstant}\cdot x^{\frac32}$$ $$ y = \text{konstant} \cdot x^{\frac32} - \frac23.$$

Med en integrerende faktor:

$$y' - \frac{3}{2x}y = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$$ $$y'x^{-\frac32} - \frac{3}{2}x^{-\frac52}y = x^{-\frac52}$$ $$\frac{d}{dx}\left(yx^{-\frac32}\right) = x^{-\frac52}$$ $$yx^{-\frac32} = \int x^{-\frac52} dx = -\frac23x^{-\frac32} + \text{konstant}$$ $$y = -\frac23 + \text{konstant}\cdot x^{\frac32},$$ så du får samme svar.