geometrisk fremstilling av vektor / plan

[TFZ]

Jeg sitter med en forståelsesoppgave rundt dette temaet og skjønner i grunn ikke stort av det som står oppgitt i fasiten, og forklaringene jeg prøvde meg på før jeg så i fasiten var ikke i nœrheten... Er det noen som kan forklare denne oppgaven på en litt mer billedlig måte?


Vektorene a og b er ikke parallelle.
a) Forklar at vektorlikningen c = s*a + t*b alltid har EN løsning i 2D.

b) Forklar at likningen ikke behøver å ha en løsning i 3D.

c) a, b, c og d er vektorer i rommet. Ingen av vektorene a, b og c er parallelle, og vektorlikningen c = s*a + t*b har ingen løsning. Forklar at vektorlikningen d = s*a + t*b + q*c da må ha EN løsning.




a) Her tenkte jeg som så at hvis vi har to vektorer a og b som ikke er parallelle i et 2D plan, så må de på ett eller annet punkt skjœre hverandre, da de vil ha en viss vinkling i forhold til hverandre.

Fasit: Vi tenker oss at vi plasserer vektorene sa, tb og c slik at de starter i samme punkt, og at alle tre vektorene ligger i xy-planet. Så lenge a og b ikke er parallelle, vil vi alltid kunne velge verdier for s og t slik at vi kan lage et parallellogram i xy-planet der c er diagonalen og to av sidene i parallelleogrammet blir lik s*a, og de andre to sidene blir lik t*b. Dette er det
samme som å si at vektorlikningen c = s*a t*b alltid har en løsning i 2D når vektorene a og b ikke er parallelle. (Når vi sier at vektorene ikke er parallelle, har vi også sagt at de er forskjellige fra nullvektoren, fordi nullvektoren er parallell med alle vektorer.)


b) Her tenkte jeg at når vi går over til 3D, kan vektorer krysse over eller under hverandre uten å vœre borti hverandre, hvis de ligger i ulike plan - og dermed ikke ha noen løsning.

Fasit: Her er det nok å komme med et moteksempel for å vise at likningen i oppgave a ikke behøver
å gjelde i 3D. Vi tenker oss at c ikke er parallell med xy-planet, mens vi lar a og b være parallelle med xy-planet. Hvis vi plasserer vektorene s*a, t*b og c slik at de starter i samme
punkt i xy-planet, så må da vektoren s*a + t*b nødvendigvis også ha sitt sluttpunkt i xyplanet, mens c ikke har det. Siden vektorene på hver side av likhetstegnet i likningen c = s*a + t*b ikke ender i samme punkt når de starter i samme punkt, er ikke vektorene like, og likningen c = s*a + t*b har ingen løsning.


c) Her har jeg ikke nok grunnlag fra a) og b) til å kunne trekke noen konklusjon rundt likning d... Klarer ikke se for meg hva som faktisk skjer og hvilken betydning opplysningene de gir har, som at a, b og c ikke er parallelle, og at likning c ikke har noen løsning.

Fasit: I oppgave a argumenterte vi for at vektoren s*a + t*b er parallell med xy-planet hvis a og b også er det. Når vektorlikningen c = s*a + t*b ikke har noen løsning betyr dette at c ikke er parallell med xy-planet, se argumentasjonen i oppgave b. Vi tenker oss at d er retningsvektoren for et eller annet punkt P i rommet. Da vil c kunne være retningsvektor for
en linje l gjennom dette punktet som vil skjære xy-planet i et bestemt punkt. Det vil da alltid finnes en bestemt kombinasjon av s og t som vil kunne få vektoren s*a + t*b til å gå fra origo til dette skjæringspunktet i xy-planet, og bevegelsen videre langs linja l opp til P vil da kunne beskrives av vektoren q*c. Dermed får vi d = s*a + t*b + q*c. Uansett hvor i rommet vi plasserer P vil altså retningesvektoren til P kunne skrives d = s*a + t*b + q*c. Det er det samme som å si at vektorlikningen d = s*a + t*b + q*c alltid må ha en løsning. Nå startet vi for enkelhets skyld argumentasjonen i oppgave c med at a og b skulle være
parallelle med xy-planet. I kapittel 5 vil du lære mer om plan. Argumentasjonen blir like gyldig om vi bare starter med å ta utgangspunkt i det planet som både a og b er parallelle med, uansett hvilket plan dette måtte være.

[Fysikkmann97]

a)

To ulike vektorer (lineært uavhengige) vil spenne hele $\mathbb{R}^2$. At de er lineært uavhengige vil si at den andre ikke er en skalar multiplisert med den andre. Har du flere enn to vektorer vil det si at vektorene er lineært uavhengig om løsningen på likningen $c = s*a + t*b$ bare har løsningen $s = t = 0$. Vi befinner hos her i $\mathbb{R}^3$.

b)

$\mathbb{R}^2$ vil være et plan med kombinasjoner av (x,y). De to vektorene vil kunne utspenne dette planet, men mangler "høyde" for å utspenne hele $\mathbb{R}^3$ Likningen har en løsning om c ligger i planet som a og b utspenner, men si at a = (1,0,0) og b = (0,1,0). De vil aldri tilfredsstille $(1,1,1) = s(1,0,0) + t(0,1,0)$ for vilkårlige s og t. (1,1,0) går imidlertid helt fint.

c)

Vi befinner oss i $\mathbb{R}^3$ og får opplyst at a, b, c og d er ikke parallelle med hverandre. Siden $c = s*a + t*b$ ikke har en løsning er a, b og c lineært uavhengig, og utspenner \mathbb{R}^3. Siden d også befinner seg i $\mathbb{R}^3$, må $d = s*a + t*b + q*c$ ha en løsning. Siden a, b og c er lin. uavh. finnes det bare en løsning.