Fra nullpunkt til funksjonsuttrykk

[siljelju]

Hei, jeg bare lurte på om noen kunne forklare meg hvordan man kan bruke nullpunktene til en funksjon til å lage selve funksjonsuttrykket?

[Bananiel]

Hvis vi tar utgangspunkt i [tex]f(x)=x^{2}+6x+8[/tex]

Og ser på dette grafisk.



Da vil vi se at vi har to nullpunkter i [tex]-4[/tex] og [tex]-2[/tex]. Med det så vet vi at nullpunktene til uttrykket vil være [tex](x+2)(x+4)[/tex].
Vi kunne jo selvfølgelig ha regnet ut nullpunktene selv også. Uansett, grunnlaget for nullpunktene er fordi [tex]-2[/tex] som [tex]x[/tex] i [tex](x+2)[/tex] ville gitt
[tex](-2+2)=0[/tex], og samme for [tex](x+4)[/tex].

Det eneste vi mangler nå er å finne stigningstallet, du kjenner sikkert til [tex]a(x+2)(x+4)[/tex]. Dette kan vi gjøre ved å så på når [tex]f(0)[/tex].
Vi ser på grafen at når [tex]x = 0[/tex] så har vi [tex]y = 8[/tex] (konstantleddet), dermed setter vi [tex]f(0) = 8[/tex] og regner dette ut. Videre vil vi få dette som
[tex]a(0+2)(0+4) = 8[/tex] som videre blir [tex]a8 = 8[/tex], så deler vi dette på [tex]8[/tex] og får at stigningstallet [tex]a =[/tex] [tex]1[/tex]. Du kunne også tatt utgangspunkt
i en annen verdi her også.

Dette betyr at funksjonen [tex]f(x)=x^{2}+6x+8[/tex] [tex]= (x+2)(x+4)[/tex].

Om vi hadde ønsket å fått [tex](x+2)(x+4)[/tex] til å bli tilbake til sin form som [tex]x^{2}+6x+8[/tex], trenger vi bare å gange dette ut.
Altså, det motsatte av å faktorisere. Her kan det påpekes at om [tex]a[/tex] hadde hatt en verdi annet enn [tex]1[/tex] så ville dette ha
vært med som [tex]a(x+b)(x+c)[/tex] for å kunne regne det ut til [tex]ax^{2}+bx+c[/tex]. Men igjen, så har du et funksjonsuttrykk med [tex]a(x+b)(x+c)[/tex].

[Fysikkmann97]

Altså, det motsatte av å faktorisere. Her kan det påpekes at om [tex]a[/tex] hadde hatt en verdi annet enn [tex]1[/tex] så ville dette ha
vært med som [tex]a(x+b)(x+c)[/tex] for å kunne regne det ut til [tex]ax^{2}+bx+c[/tex]. Men igjen, så har du et funksjonsuttrykk med [tex]a(x+b)(x+c)[/tex].

Dette er ikke helt korrekt.

$a(x + q)(x + p) = a(x^2 + (q + p)x + qp)$

Dette er da ekvivalent med uttrykket $a(x^2 + bx + c)$, hvor b og c er bestemt av likningsystemet

[tex]\left\{\begin{matrix} b = p + q\\ c = p * q \end{matrix}\right.[/tex]

I oppgaven ser man at $b = 4 + 2 = 6$ og $c = 4*2 = 8$

[siljelju]

Gjelder det samme prinsippet når man skal komme fram til den tredjegradfunksjon?

[Bananiel]

Dette er da ekvivalent med uttrykket $a(x^2 + bx + c)$, hvor b og c er bestemt av likningsystemet.

Takk for rettelse, dette var jeg ikke fullstendig klar over

[Bananiel]

Gjelder det samme prinsippet når man skal komme fram til den tredjegradfunksjon?

Ja, det vil gjelde

[Fysikkmann97]

Gjelder det samme prinsippet når man skal komme fram til den tredjegradfunksjon?

Ja. Gitt at f(x) har tre reelle røtter, kan du skrive den på formen $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$ Har den ikke tre nullpunkt må den skrives som en kombinasjon av ikke lineære og (muligens) lineære faktorer. $x^3 + x^2 + 4x + 20$ har bare et nullpunkt og kan derfor bare faktoriseres på formen a(x - x_1)(x^2 + bx + c).