Induksjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Gjest

vi setter

[tex]S_n=\frac{2}{1*3}+\frac{2}{2*4}+\frac{2}{3*5}+...+\frac{2}{n(n+2)}, n\geq 1[/tex]

vis ved induksjon at

[tex]S_n=\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}[/tex]


Trinn 1: test for n=1

VS : [tex]\frac{2}{1*3}=\frac{2}{3}[/tex] HS: [tex]\frac{3}{2}-\frac{1}{1+1}-\frac{1}{1+2}=\frac{2}{3}[/tex]


Trinn 2: antar at det stemmer for n=t

[tex]S_t=\frac{2}{1*3}+\frac{2}{2*4}+...+\frac{2}{t(t+2)}=\frac{3}{2}-\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t+2}[/tex]


Skal vise at det stemmer for n=t+1

Skal altså vise at :


[tex]S_{t+1}=\frac{2}{1*3}+...+\frac{2}{t(t+2)}+\frac{2}{(t+1)((t+1)+2)}=\frac{3}{2}-\frac{1}{((t+1)+1)}-\frac{1}{(t+1)+2}=\frac{(3t+8)(t+1)}{2(t+2)(t+3)}[/tex]

Bevis:

[tex]S_{t+1}=S_{t}+a_{t+1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t+2}+\frac{2}{(t+1)((t+1)+2)}=\frac{3}{2}-\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t+2}+\frac{2}{(t+1)(t+3)}[/tex]


[tex]\left (\frac{3}{2}-\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t+2}+\frac{2}{(t+1)(t+3)} \right )*FN[/tex]

[tex]\frac{3(t+1)(t+2)(t+3)}{FN}-\frac{1*2(t+2)(t+3)}{FN}-\frac{1*2(t+1)(t+3)}{FN}+\frac{2*2(t+2)}{FN}=\frac{(t+1)^2(3t+8)}{FN}[/tex]

[tex]FN=2(t+1)(t+2)(t+3)[/tex]

[tex]S_{t+1}=\frac{(t+1)^2(3t+8)}{2(t+1)(t+2)(t+3)}=\frac{(t+1)(3t+8)}{2(t+2)(t+3)}[/tex]


er dette riktig?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Du har ikke fullført beviset ettersom ditt endelige uttrykk ikke er på formen vi ønsker. Dessuten gjør du ting veldig vanskelig for deg selv ved å sette alle leddene over fellesnevner.

Basistilfelle: $n = 1$
$HS = \frac32 - \frac{1}{1+1} - \frac{1}{1+2} = 1 - \frac13 = \frac23 = \frac{2}{1\cdot3} = VS. \text{ }\text{ }\checkmark$

Induksjon: Anta at formelen stemmer for $n$, der $n\geq 1$. Da får vi at $$\begin{align*} S_{n+1} & = \frac{2}{1\cdot 3} + \dots + \frac{2}{(n+1)(n+3)} \\
& = S_n + \frac{2}{(n+1)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{2}{(n+1)(n+3)} \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(*) \\
& = \frac32 - \frac{(n+2)(n+3) + (n+1)(n+3) - 2(n+2)}{(n+1)(n+2)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{2n^2 + 7n + 5}{(n+1)(n+2)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{(2n+5)(n + 1)}{(n+1)(n+2)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{2n + 5}{(n+2)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{(n+3) + (n + 2)}{(n+2)(n+3)} \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ (et lite knep for å få uttrykket på formen vi ønsker)} \\
& = \frac32 - \frac{n+3}{(n+2)(n+3)} - \frac{n+2}{(n+2)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}, \end{align*} $$ så påstanden er bevist ved induksjon for alle $n\geq 1$.

Eventuelt kan vi stoppe etter $(*)$ og merke oss at det eneste som gjenstår å vise er at $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \frac{2}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3}$. Så ettersom $$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \frac{2}{(n+1)(n+3)} - \left[\frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3}\right] = \frac{(n+3) - 2 - (n+1)}{n+1} = 0,$$ ser vi at påstanden gjelder for $n+1$ og vi er igjen ferdige ved induksjon.
Gjest

DennisChristensen skrev:Du har ikke fullført beviset ettersom ditt endelige uttrykk ikke er på formen vi ønsker. Dessuten gjør du ting veldig vanskelig for deg selv ved å sette alle leddene over fellesnevner.

Basistilfelle: $n = 1$
$HS = \frac32 - \frac{1}{1+1} - \frac{1}{1+2} = 1 - \frac13 = \frac23 = \frac{2}{1\cdot3} = VS. \text{ }\text{ }\checkmark$

Induksjon: Anta at formelen stemmer for $n$, der $n\geq 1$. Da får vi at $$\begin{align*} S_{n+1} & = \frac{2}{1\cdot 3} + \dots + \frac{2}{(n+1)(n+3)} \\
& = S_n + \frac{2}{(n+1)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} + \frac{2}{(n+1)(n+3)} \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }(*) \\
& = \frac32 - \frac{(n+2)(n+3) + (n+1)(n+3) - 2(n+2)}{(n+1)(n+2)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{2n^2 + 7n + 5}{(n+1)(n+2)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{(2n+5)(n + 1)}{(n+1)(n+2)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{2n + 5}{(n+2)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{(n+3) + (n + 2)}{(n+2)(n+3)} \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ (et lite knep for å få uttrykket på formen vi ønsker)} \\
& = \frac32 - \frac{n+3}{(n+2)(n+3)} - \frac{n+2}{(n+2)(n+3)} \\
& = \frac32 - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3}, \end{align*} $$ så påstanden er bevist ved induksjon for alle $n\geq 1$.

Eventuelt kan vi stoppe etter $(*)$ og merke oss at det eneste som gjenstår å vise er at $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \frac{2}{(n+1)(n+3)} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3}$. Så ettersom $$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} - \frac{2}{(n+1)(n+3)} - \left[\frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3}\right] = \frac{(n+3) - 2 - (n+1)}{n+1} = 0,$$ ser vi at påstanden gjelder for $n+1$ og vi er igjen ferdige ved induksjon.

takk, men hva er feil med min? jeg viser jo at høyre side er like venstre side?
Svar