matematikk.net

[tex]\int \frac{4}{x^4}[/tex], der intervallet er mellom [-2,2]
Fant ganske rask ut at den ikke er definert når x=0. Dvs, ikke kontinuerlig. Hvordan kan jeg vise det matematisk at integralet ikke er definert for den oppgitte intervallet.

Du kan vel bruke grenseverdier for å vise at [tex]f(x)[/tex] ikke eksiterer for [tex]x=0[/tex]?

[tex]lim_{x\to 0} \enspace (\frac{4}{x^4})[/tex].
[tex]= \frac{4}{0^4} = \frac{4}{0}[/tex]

Vi får null i nevner og uttrykket kan ikke videre faktoriseres, derfor eksisterer ikke grenseverdien der [tex]x = 0[/tex].

Da blir intervallet [tex][-2, 2]\enspace / 0[/tex]. Denne skrivemåten betyr altså intervallet [tex][a,b][/tex], men ikke (/) [tex]c[/tex], som er en verdi som ligger mellom [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex].

Jeg vet ikke helt om jeg har forstått spørsmålet riktig, så noen må gjerne rette meg hvis jeg har gjort feil.

[tex]\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^-}f(x)=\infty[/tex].

Dersom vi bruker at f(x) er jamn, slik at [tex]\int_{-2}^2f(x)dx=2\int_0^2f(x)dx=2\lim_{R\to0}\int_R^2\frac{dx}{x^4}=2\lim_{R\to0}\frac{-1}{3x^3}|_{x=R}^{x=2}=\lim_{R\to0}\frac{-2}{3}(\frac{1}{8}-\frac{1}{R^3})\to\infty[/tex].
Følgelig divergerer integralet på [tex][-2,2][/tex].