Hvorfor sin^-1 ?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
1Televvgs

Når en kjenner verdien av sin v eller cos v, hvorfor tar en sin "opphøyd" i -1? Hva er det kalkulatoren egentlig gjør under den operasjonen? Hva er tankegangen bak å bruke sinusverdien til å finne vinkelen?
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Det er litt notasjonskrøll her.

Når vi har tall opphøyd i -1, så mener vi den multiplikative inversen av tallet. Med andre ord $k^{-1} = \frac1{k^1}$.

Når vi tar en funksjon "opphøyd" i -1, så mener vi den funksjonelle inversen. Det vil si en funksjon som reverserer det den opprinnelige funksjonen gjorde.

Eksempel: Hvis vi tenker på funksjonen $f(x) = x-1$, så finnes det en funksjon $g$ som gjør at $g(f(x)) = x$.

$g(x) = x+1$ vil gjøre dette. $g(f(x)) = g(x-1) = (x-1) + 1 = x$.

Altså, hva enn $f$ gjør med $x$, så vil $g$ gjøre det motsatte, slik at bare $x$ står igjen.

I tilfellet $\sin(x)$ så finnes det en funksjon vi kaller $\sin^{-1}(x)$ som fungerer slik at $\sin^{-1}(\sin(x)) = x$.

Det gjør at hvis vi vet at $\sin(x) = 0.5$, så kan vi finne hva $x$ er ved å bruke den inverse funksjonen på begge sider.

$\sin^{-1}(\sin(x)) = \sin^{-1}(0.5)$

På venstre side har vi altså bare $x$, og på høyre side får du hva enn kalkulatoren sier at $\sin^{-1}(0.5)$ er.

Sånn finner vi $x$ i trigonometriske likninger.

Så bare for å gjenta; det at vi skriver dette som $\sin^{-1}$ er bare gjenbruk av notasjon. Det skal ikke ses på som en eksponent.
Bilde
Svar