Trigonometrisk relasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
abandonedmathematics

Hei,

jeg sitter og jobber med en større oppgave, og når jeg ser på løsningsforslaget ser jeg at de har gjort en overgang fra
[tex]2-2sin(t)[/tex]
til
[tex]4sin^2 \left(\frac{t-\pi / 2}{2}\right)[/tex]

Kjører jeg den gjennom wolframalpha med kommandoen simplify får jeg
[tex]4sin^2\left( \frac{\pi/2 - t}{2} \right )[/tex]

Jeg henger ikke med på hvor denne overgangen kommer fra, og hvorfor er det forskjellig fortegn i kjernen mellom det løsningsforslaget sier og wolframalpha?
Noen som kunne gitt en kjapp steg for steg, eller eventuelt trukket frem de trigonometriske relasjonene som gjør denne overgangen mulig?
Khan1204
Noether
Noether
Innlegg: 32
Registrert: 19/05-2017 18:20

Det er bare det at siden sinus opphøyes i annen så har den ingen negativ output. Slik at om du bare ganger alt i kjernen med -1 så endres ikke verdien av funksjonen som helhet. (Selvom kjernen nettop endret seg med faktor -1)
abandonedmathematics

Ja, okei, den ser jeg,

men hvordan kommer man seg fra
[tex]2 - 2sin(t)[/tex]

til
[tex]4sin^2 \left(\frac{t-\pi / 2}{2}\right)[/tex]
?
Ant
Noether
Noether
Innlegg: 24
Registrert: 05/06-2017 21:45

Skulle du kunne poste hele oppgaven?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

abandonedmathematics skrev:Hei,

jeg sitter og jobber med en større oppgave, og når jeg ser på løsningsforslaget ser jeg at de har gjort en overgang fra
[tex]2-2sin(t)[/tex]
til
[tex]4sin^2 \left(\frac{t-\pi / 2}{2}\right)[/tex]
Bruk de kjente identitetene

$2\sin^2 x = 1-\cos 2x$

og

$\cos (x-\frac{\pi}{2})=\sin x$.

Den første identiteten kan vises lett ut fra summeformelen $\cos (x+y)=\cos x \cos y-\sin x \sin y$, ved at du setter y=x, og bruker at $\sin^2x+\cos^2x=1$.
abandonedmathematics

Skriver ned hele her i tilfelle noen finner tråden i fremtiden.
[tex]2-2sin(t) = 2 \left(1-sin(t)\right)[/tex] Jobber videre med kjernen.

[tex]1-sin(t) = sin(\frac{\pi}{2}) - sin(t)[/tex]

bruker det at [tex]sin(\alpha) - sin(\beta) = 2cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)[/tex]

og at [tex]cos(\Theta) = sin\left(\frac{\pi}{2} - \Theta\right)[/tex]

[tex]sin(\frac{\pi}{2}) - sin(t) = 2cos\left(\frac{\frac{\pi}{2} + t}{2}\right) sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} - t}{2}\right) = 2sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\frac{\pi}{2} + t}{2}\right) sin\left(\frac{\frac{\pi}{2} - t}{2}\right)[/tex]

Multipliserer inn 2 som vi fjernet i starten og sitter igjen med
[tex]4sin^2 \left(\frac{\frac{\pi}{2} - t}{2} \right)[/tex]
Svar