Separabel diff.likning?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
erikalexander
Cayley
Cayley
Innlegg: 61
Registrert: 31/01-2016 15:50

En fallskjermhopper med fullt utstyr veier omtrent 100 kg. Han hopper fra et fly som holder en fast høyde over bakken, slik at utgangsfarten kan settes lik null.
Hva er den største farten hopperen kan få før han utløser fallskjermen når luftmotstanden er proporsjonal med kvadratet av farten, og proporsjonalitetskonstanten 0.25 kg/m
Så jeg går utifra at diff.likningen man skal stille opp er [tex]\sum F=ma=G-L \rightarrow mv'=mg-kv^2[/tex]

Om jeg omformer til [tex]m=\frac{mg-kv^2}{v'}\rightarrow \frac{1}{m}=\frac{v'}{mg-kv^2}[/tex] får jeg noe som tilsynelatende ser ut som en separabel diff.likning på formen [tex]g(t)=v'*h(v)[/tex]. Neste steg er vel å integrere begge sider med hensyn på t? [tex]\int \frac{1}{m}dt=\int \frac{v'}{mg-kv^2}dt[/tex].

Da er det integralet på høyresiden som er et problem. Har gått gjennom kapittelet om integraler og integrasjonsmetoder i Aschehougs Matematikk R2 (den gamle), men jeg kjenner ikke igjen integralet på høyresiden som noe jeg får gjort noe med. Noen som har et hint, eller er jeg på villspor?
Sist redigert av erikalexander den 01/07-2017 13:24, redigert 1 gang totalt.
Gjest

[tex]\sum F=G-L=ma\Rightarrow mg-kv^2=ma\Rightarrow mg-kv^2=mv'\Rightarrow mg=mv'+kv^2[/tex]

[tex]mg-mv'-kv^2=0\Rightarrow g-v'-\frac{k}{m}v^2=0[/tex]

Andreordens diff likning


!!
erikalexander
Cayley
Cayley
Innlegg: 61
Registrert: 31/01-2016 15:50

Gjest skrev:[tex]\sum F=G-L=ma\Rightarrow mg-kv^2=ma\Rightarrow mg-kv^2=mv'\Rightarrow mg=mv'+kv^2[/tex]

[tex]mg-mv'-kv^2=0\Rightarrow g-v'-\frac{k}{m}v^2=0[/tex]

Andreordens diff likning


!!
Det var jo rart. Oppgaven står 5 sider før delkapittelet om diff.likninger av andre orden starter. Så da gikk jeg utifra at jeg kunne bruke det jeg har lært hittil som er separable diff.likninger og lineære diff.likninger av første orden.
Gjest

erikalexander skrev:
En fallskjermhopper med fullt utstyr veier omtrent 100 kg. Han hopper fra et fly som holder en fast høyde over bakken, slik at utgangsfarten kan settes lik null.
Hva er den største farten hopperen kan få før han utløser fallskjermen når luftmotstanden er proporsjonal med kvadratet av farten, og proporsjonalitetskonstanten 0.25 kg/m

[tex]v'+\frac{k}{m}v^2-g=0\Longrightarrow v'+\frac{0.25}{100}v^2-9.81=0[/tex]
-
Første ordens differensialikning, ikke-homogen, ikke-lineær, med konstante koeffisienter.

Ikke en andreordens som gjest ovenfor skriver...

Denne kan løses med integrerende faktor f.eks. [tex]y'+p(x)y=q(x)[/tex]


Dessuten så skal man ikke integrere mhp. samme variabel på begge sidene blir [tex]\frac{dv}{dt}[/tex]
erikalexander
Cayley
Cayley
Innlegg: 61
Registrert: 31/01-2016 15:50

Gjest skrev:
[tex]v'+\frac{k}{m}v^2-g=0\Longrightarrow v'+\frac{0.25}{100}v^2-9.81=0[/tex]
-
Første ordens differensialikning, ikke-homogen, ikke-lineær, med konstante koeffisienter.

Ikke en andreordens som gjest ovenfor skriver...

Denne kan løses med integrerende faktor f.eks. [tex]y'+p(x)y=q(x)[/tex]


Dessuten så skal man ikke integrere mhp. samme variabel på begge sidene blir [tex]\frac{dv}{dt}[/tex]
Nå henger jeg ikke helt med .. Du sier at den er ikke-lineær, men kan løses med integrerende faktor. Hittil har jeg bare lært å bruke metoden med integrerende faktor for lineære diff.likninger av første orden, altså alle på formen [tex]y'+f(x)y=g(x)[/tex] der integrerende faktor er [tex]e^{F(x)}=e^{\int f(x)dx}[/tex]. Jeg er veldig forvirret over om likninger på formen [tex]y'+f(x)y^2=g(x)[/tex] er noe jeg burde klare å løse så langt i læreboka.

[tex]v'+\frac{k}{m}v^2=g=v'+0.0025v^2=9.81[/tex]. Integrerende faktor er [tex]e^{0.0025t}[/tex] (???)

[tex]v'e^{0.0025t}+0.0025v^2e^{0.0025t}=9.81e^{0.0025t}[/tex]

[tex]v'e^{0.0025t}+v^2(e^{0.0025t})'=9.81e^{0.0025t}[/tex]. Klarer ikke å se om det er noe mer å gjøre her, eller har jeg misforstått hva du prøver å si? Hadde vanligvis brukt produktregelen baklengs, men den dærre [tex]v^2[/tex] ødelegger litt for det.
MatIsa
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 12:09
Sted: Trondheim

$m \dfrac{dv}{dt} = mg-kv^2$ gir den separable diff-likningen $\dfrac{dv}{mg-kv^2} = \dfrac{1}{m}dt$,
som kan forenkles litt:
$$\dfrac{1}{mg}\dfrac{dv}{1-(k/mg)v^2} = \dfrac{1}{m}dt\Longrightarrow \int\dfrac{dv}{1-(\alpha v)^2} = \int g~dt = gt + C$$
der $\alpha = \sqrt{k/mg}$. Det som gjenstår er å løse integralet på venstre side, som er relativt enkelt. (Hint: delbrøkoppspalting)
Svar