Sum av et stort ledd

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
Gjest

Håper jeg ikke spammer forumet med oppgaver fra abelkonkurransen, bør jeg kanskje lage én tråd for dette?

Skal finne summen av [tex]\frac{1}{1*2*3}+\frac{1}{2*3*4}+...+\frac{1}{1996*1997*1998}[/tex]

Sitter skikkelig fast. Vet jo selfølgelig at man ikke skal gange alt ut, men prøve å forkorte noe slik at evt. noen ledd faller sammen?

Hvis jeg kaller tallene i nevneren for [tex]n[/tex] ser jeg jo at:

[tex]\frac{n}{n(n+1)(n+2)}+\frac{n}{(n+2)(n+3)(n+4)}+...+\frac{n}{(n+1995)(n+1996)(n+1997)}[/tex]

Ser ikke noen vei? Klarer heller ikke å komme på en lur omskrivning...

Takk på forhånd!
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Gjest skrev:Håper jeg ikke spammer forumet med oppgaver fra abelkonkurransen, bør jeg kanskje lage én tråd for dette?

Skal finne summen av [tex]\frac{1}{1*2*3}+\frac{1}{2*3*4}+...+\frac{1}{1996*1997*1998}[/tex]

Sitter skikkelig fast. Vet jo selfølgelig at man ikke skal gange alt ut, men prøve å forkorte noe slik at evt. noen ledd faller sammen?

Hvis jeg kaller tallene i nevneren for [tex]n[/tex] ser jeg jo at:

[tex]\frac{n}{n(n+1)(n+2)}+\frac{n}{(n+2)(n+3)(n+4)}+...+\frac{n}{(n+1995)(n+1996)(n+1997)}[/tex]

Ser ikke noen vei? Klarer heller ikke å komme på en lur omskrivning...

Takk på forhånd!
Vi bruker delbrøkoppspalting til å skrive $\frac{1}{k(k+2)} = \frac12\left(\frac1k - \frac{1}{k+2}\right).$ Dermed har vi at $\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right),$ så flere av leddene i summen kanselleres: $$\sum_{k=1}^{1996}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\sum_{k=1}^{1996}\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) = \frac12\left(\frac{1}{1\cdot(1+1)} - \frac{1}{(1996 + 1)(1996 + 2)}\right) = \frac14 - \frac{1}{2\cdot 1997\cdot 1998}.$$

EDIT: skrivefeil
Sist redigert av DennisChristensen den 15/07-2017 10:30, redigert 1 gang totalt.
Gjest

DennisChristensen skrev: Vi bruker delbrøkoppspalting til å skrive $\frac{1}{k(k+2)} = \frac12\left(\frac1k - \frac{1}{k+2}\right).$ Dermed har vi at $\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right),$ så flere av leddene i sumen kanselleres: $$\sum_{k=1}^{1996}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\sum_{k=1}^{1996}\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) = \frac12\left(\frac{1}{1\cdot(1+1)} - \frac{1}{(1996 + 1)(1996 + 2)}\right) = \frac14 - \frac{1}{2\cdot 1997\cdot 1998}.$$
Mulig jeg bare er litt trøtt, men ser ikke overgangen fra å bruke at [tex]\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2} \right )[/tex] til [tex](\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\left ( \frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right )[/tex] ?

Jeg prøver selv:

[tex]\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{(k+1)}+\frac{C}{k+2}\Leftrightarrow 1=A(k+1)(k+2)+B(k+2)k+C(k+1)k[/tex]

[tex]k=-1[/tex] gir [tex]B=-1[/tex], [tex]k=-2[/tex] gir [tex]C=2[/tex] og [tex]A=0[/tex]. Det vil si:

[tex]\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{0}{k}-\frac{1}{k+1}+\frac{2}{k+2}=\frac{2}{k+2}-\frac{1}{k+1}[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{1996}\left ( \frac{2}{k+2}-\frac{1}{k+1} \right )=\frac{2}{1+2}-\frac{1}{1996+1}[/tex]

som åpenbart er feil.... :cry:
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Gjest skrev:
DennisChristensen skrev: Vi bruker delbrøkoppspalting til å skrive $\frac{1}{k(k+2)} = \frac12\left(\frac1k - \frac{1}{k+2}\right).$ Dermed har vi at $\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right),$ så flere av leddene i sumen kanselleres: $$\sum_{k=1}^{1996}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\sum_{k=1}^{1996}\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) = \frac12\left(\frac{1}{1\cdot(1+1)} - \frac{1}{(1996 + 1)(1996 + 2)}\right) = \frac14 - \frac{1}{2\cdot 1997\cdot 1998}.$$
Mulig jeg bare er litt trøtt, men ser ikke overgangen fra å bruke at [tex]\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2} \right )[/tex] til [tex](\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\left ( \frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right )[/tex] ?
Vi har brukt delbrøkoppspalting til å vise at $$\frac{1}{k(k+2)} = \frac12\left(\frac1k - \frac{1}{k+2}\right).$$ Videre multipliserer vi begge sider med $\frac{1}{k+1}$ og får at $$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right).$$
Gjest

DennisChristensen skrev:
Gjest skrev:
DennisChristensen skrev: Vi bruker delbrøkoppspalting til å skrive $\frac{1}{k(k+2)} = \frac12\left(\frac1k - \frac{1}{k+2}\right).$ Dermed har vi at $\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right),$ så flere av leddene i sumen kanselleres: $$\sum_{k=1}^{1996}\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\sum_{k=1}^{1996}\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) = \frac12\left(\frac{1}{1\cdot(1+1)} - \frac{1}{(1996 + 1)(1996 + 2)}\right) = \frac14 - \frac{1}{2\cdot 1997\cdot 1998}.$$
Mulig jeg bare er litt trøtt, men ser ikke overgangen fra å bruke at [tex]\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+2} \right )[/tex] til [tex](\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\left ( \frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right )[/tex] ?
Vi har brukt delbrøkoppspalting til å vise at $$\frac{1}{k(k+2)} = \frac12\left(\frac1k - \frac{1}{k+2}\right).$$ Videre multipliserer vi begge sider med $\frac{1}{k+1}$ og får at $$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\left(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\right).$$
Selvfølgelig... takk!
Svar