deleg med 5

[dahle-g@online.no]

Oppgåve 2.29 Sigma R1
Er eg på villspor eller er dette riktig gjort ?
Vis at n^2 + 2 ikkje er deleleg med 5 for nokon verdiar av n.
n = 5k, k er eit heiltal
Bevis
n^2 + 2 = 5k^2 + 2
= 25k^2 + 2
= 5(5k^2) + 2
Dette medfører at vi aldri får 0 eller 5 som siste siffer
og n^2 + 2 er derfor ikkje deleleg med 5 for nokon verdiar av n

[Nebuchadnezzar]

Ser helt riktig ut dette. Jeg ville nok heller konkludert med at "Hvis et tall skal være delelig med 5 må det kunne skrives på formen 5k",og du viser jo at tallet ditt er på formen 5u + 2 (hvor u da er 5k^2 som igjen bare er et tall).

En annen fremgangsmåte er induksjon."

Grunntilfellet $n=1$: Da har vi $1^2 + 2 = 3$ som ikke er delelig med $5$.

Induksjonshypotesen: Vi antar at $k^2 + 2$ aldri er delelelig med 5.

Induksjonssteget: Vi ønsker å vise at dersom $k^2 + 2$ aldri er delelig med $2$ så medfører dette at $(k+1)^2 + 2$ aldri er delelig med $2$. Ved å skrive ut så har vi

$ \hspace{1cm}
(k+1)^2 + 2 = (k^2 + 2k + 1) + 2 = (k^2 + 2) + (2k + 1)
$

For at $(k+1)^2 + 2$ skal være delelig med $5$ må både $(k^2 + 2)$ og $(2k + 1)$ være delelig med 5. Men fra induksjonshypotesen så er $k^2 + 2$ ikke delelig med 2, og dette fullfører beviset.

=============================

Hvorfor fungerer dette? Jo, vi har vist at for $n=1$ så er ikke $n^2 + 1$ delelig med 5. Den siste delen av beviset sier at dersom $n=k$ ikke er delelelig med $5$ så er heller ikke $n=k+1$ delelig med 5. Siden $n=1$ ikke er delelig, så vet vi at $n=1+1$ ikke er delelig. Siden $n=2$ ikke er delelelig så vet vi at $n=2+1$ ikke er delelelig. Osv

[dahle-g@online.no]

Hei!
Tusen takk for god rettleiing og hjelp.
NB! Forstod ikkje heilt kva du meinar med "Jeg ville nok heller konkludert med at "Hvis et tall skal være delelig med 5 må det kunne skrives på formen 5k"

[dahle-g@online.no]

I indusjonssteget skriv du deleleg med 2, men det er vel ein skrive feil det skal vel vere 5.

[Nebuchadnezzar]

Fiksa på 2 tallet ja, godt observert Dersom noe skal være delelig på 5, må det kunne skrives på formen $5 \text{noe}$. For eksempel $5k$, $5(2k+1)$ eller $5(k^2+2k+3)$ osv, men det er mer oversiktlig og da forenkle det til $5u$.

[dahle-g@online.no]

Takk for tilbakemeldinga:
Får stadig nye aha opplevingar i emnet.
Det å føle at ein har fått meir kunnskap på emnet,
gjer at ein vil utforske meir og dermed tilegne seg endå meir kunnskap.