sjølvmotseiing

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
dahle-g@online.no

Oppgåve C 2.53 Sigma 1R
Vis at det ikkje finst nokon brøk a/b som er slik at (a/b )^2 = 3

Kan denne oppgåva løysast på denne måten

Problem
Vis at det ikkje finst nokon brøk a/b som er slik at (a/b )^2 = 3

Løysing:
Vi omformar uttrykket:

(a/b )^2 = 3

√3 = a/b
Ei av utsegna nedanfor må vere sann:

1. √3 kan skrivast som ein brøk: a/b

2. √3 kan ikkje skrivast som nokon brøk:.

Vi prøver alternativ 1.
Vi går ut frå at brøken er korta, slik at a og b ikkje har nokon felles faktorar:

Vi får då:

1).
√3 = a/b , a og b er heiltal
Vi må då bevise at ingen slike heiltal kan bli funnet.
3 = a^2/b^2
a2 = 3b2
Det vi seie at 3 er ein faktor i a2 derfor også i a. Då finst det eit heiltal k slik at a = 3k
Vi set a = 3k inn i a2 = 3b2

Vi får då:

2).
a2 = 3b2
(3k)2 = 3b2
9k2 = 3b2
3(3k2) = 3(b2)
3k2 = b2
Men det vil seie at 3 er ein faktor i b2 , og derfor også i b.

Då har vi komne fram til ei sjølvmotseiing: Brøken a/b er korta slik at a og b ikkje har nokon felles faktorar, samstundes som 3 er ein faktor i både a og b. Det er umogleg.

Altså må vi forkaste utsegn 1 om at √3 kan skrivast som brøk, og vi står att med utsegn 2:
√3 kan ikkje skrivast som brøk.
Dermed har vi løyst problemet:
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

dahle-g@online.no skrev:Oppgåve C 2.53 Sigma 1R
Vis at det ikkje finst nokon brøk a/b som er slik at (a/b )^2 = 3

Kan denne oppgåva løysast på denne måten

Problem
Vis at det ikkje finst nokon brøk a/b som er slik at (a/b )^2 = 3

Løysing:
Vi omformar uttrykket:

(a/b )^2 = 3

√3 = a/b
Ei av utsegna nedanfor må vere sann:

1. √3 kan skrivast som ein brøk: a/b

2. √3 kan ikkje skrivast som nokon brøk:.

Vi prøver alternativ 1.
Vi går ut frå at brøken er korta, slik at a og b ikkje har nokon felles faktorar:

Vi får då:

1).
√3 = a/b , a og b er heiltal
Vi må då bevise at ingen slike heiltal kan bli funnet.
3 = a^2/b^2
a2 = 3b2
Det vi seie at 3 er ein faktor i a2 derfor også i a. Då finst det eit heiltal k slik at a = 3k
Vi set a = 3k inn i a2 = 3b2

Vi får då:

2).
a2 = 3b2
(3k)2 = 3b2
9k2 = 3b2
3(3k2) = 3(b2)
3k2 = b2
Men det vil seie at 3 er ein faktor i b2 , og derfor også i b.

Då har vi komne fram til ei sjølvmotseiing: Brøken a/b er korta slik at a og b ikkje har nokon felles faktorar, samstundes som 3 er ein faktor i både a og b. Det er umogleg.

Altså må vi forkaste utsegn 1 om at √3 kan skrivast som brøk, og vi står att med utsegn 2:
√3 kan ikkje skrivast som brøk.
Dermed har vi løyst problemet:
Du har tenkt riktig og beviset er gyldig. Du kan riktignok trene på å skrive noe mer sammenhengende, og samtidig føre beviset noe mer konsist.

For eksempel:
Vi antar (i jakt på en selvmotsigelse) at vi kan skrive $3 = \left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$, der $a, b$ er heltall, $b>0$ og $a,b$ deler ingen felles faktor. Fra denne antakelsen får vi at $3b^2 = a^2$. Vi ser altså at $a^2$ er delelig med $3$, og vet derfor at $a$ er delelig med $3$. Dermed kan vi skrive $a=3c$, der $c$ er et heltall. Substituerer vi dette tilbake til likningen vår får vi at $3b^2 = (3c)^2 = 9c^2$, så $b^2 = 3c^2$. På samme vis som før ser vi altså at $b$ er delelig med $3$, så $a$ og $b$ deler en felles faktor, hvilket er en selvmotsigelse.
dahle-g@online.no

Takk for god tilbakemelding
Ja, dette er eit nytt matematisk område så eg treng
absolutt å jobbe meir med dette.
Svar