sjølvmotseiing
Lagt inn: 19/08-2017 01:05
Oppgåve C 2.53 Sigma 1R
Vis at det ikkje finst nokon brøk a/b som er slik at (a/b )^2 = 3
Kan denne oppgåva løysast på denne måten
Problem
Vis at det ikkje finst nokon brøk a/b som er slik at (a/b )^2 = 3
Løysing:
Vi omformar uttrykket:
(a/b )^2 = 3
√3 = a/b
Ei av utsegna nedanfor må vere sann:
1. √3 kan skrivast som ein brøk: a/b
2. √3 kan ikkje skrivast som nokon brøk:.
Vi prøver alternativ 1.
Vi går ut frå at brøken er korta, slik at a og b ikkje har nokon felles faktorar:
Vi får då:
1).
√3 = a/b , a og b er heiltal
Vi må då bevise at ingen slike heiltal kan bli funnet.
3 = a^2/b^2
a2 = 3b2
Det vi seie at 3 er ein faktor i a2 derfor også i a. Då finst det eit heiltal k slik at a = 3k
Vi set a = 3k inn i a2 = 3b2
Vi får då:
2).
a2 = 3b2
(3k)2 = 3b2
9k2 = 3b2
3(3k2) = 3(b2)
3k2 = b2
Men det vil seie at 3 er ein faktor i b2 , og derfor også i b.
Då har vi komne fram til ei sjølvmotseiing: Brøken a/b er korta slik at a og b ikkje har nokon felles faktorar, samstundes som 3 er ein faktor i både a og b. Det er umogleg.
Altså må vi forkaste utsegn 1 om at √3 kan skrivast som brøk, og vi står att med utsegn 2:
√3 kan ikkje skrivast som brøk.
Dermed har vi løyst problemet:
Vis at det ikkje finst nokon brøk a/b som er slik at (a/b )^2 = 3
Kan denne oppgåva løysast på denne måten
Problem
Vis at det ikkje finst nokon brøk a/b som er slik at (a/b )^2 = 3
Løysing:
Vi omformar uttrykket:
(a/b )^2 = 3
√3 = a/b
Ei av utsegna nedanfor må vere sann:
1. √3 kan skrivast som ein brøk: a/b
2. √3 kan ikkje skrivast som nokon brøk:.
Vi prøver alternativ 1.
Vi går ut frå at brøken er korta, slik at a og b ikkje har nokon felles faktorar:
Vi får då:
1).
√3 = a/b , a og b er heiltal
Vi må då bevise at ingen slike heiltal kan bli funnet.
3 = a^2/b^2
a2 = 3b2
Det vi seie at 3 er ein faktor i a2 derfor også i a. Då finst det eit heiltal k slik at a = 3k
Vi set a = 3k inn i a2 = 3b2
Vi får då:
2).
a2 = 3b2
(3k)2 = 3b2
9k2 = 3b2
3(3k2) = 3(b2)
3k2 = b2
Men det vil seie at 3 er ein faktor i b2 , og derfor også i b.
Då har vi komne fram til ei sjølvmotseiing: Brøken a/b er korta slik at a og b ikkje har nokon felles faktorar, samstundes som 3 er ein faktor i både a og b. Det er umogleg.
Altså må vi forkaste utsegn 1 om at √3 kan skrivast som brøk, og vi står att med utsegn 2:
√3 kan ikkje skrivast som brøk.
Dermed har vi løyst problemet: