delelg med 5
Lagt inn: 25/08-2017 11:58
Oppgåva C2.58 R1 SIGMA
La n, m ϵ N. Vis at dersom n og m ikkje er deleleg med 5, er m4 – n4 deleleg med 5.
Kan denne oppgåva løysast på denne måten?
Når vi har fem tal etter kvarandre må eitt vere deleleg med 5.
Når m og n ikkje er deleleg med 5 må dei ha rest 1, 2, 3, eller 4 når vi deler med 5.
Vi testar alle moglege kombinasjonar med rest.
m = 5p + 1 (rest).
n = 5q + 1 (rest).
Dersom p = 5p + 1 og q = 5q + 2 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 1 og q = 5q + 3 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 1 og q = 5q + 4 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 2 og q = 5q + 1 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 2 og q = 5q + 3 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 2 og q = 5q + 4 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 3 og q = 5q + 1 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 3 og q = 5q + 2 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 3 og q = 5q + 4 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 4 og q = 5q + 1 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 4 og q = 5q + 2 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 4 og q = 5q + 3 så er m4 – n4, delelig med 5.
Viser det med eitt eksempel, Brukar pascals trekant i utrekninga:
m4 – n4 = (5p + 1)4 – (5q + 2)4
1∙(5p + 1)4 + 4∙(5p + 1)3 + 6∙(5p + 1)2 + 4∙(p + 1) + 1∙14
- (1∙(5q + 2)4 + 4∙(5q + 2)3 + 6∙(5q + 2)2 + 4∙(q + 2) + 1∙24
= 1∙(5p4) + 4∙(5p3∙11) + 6∙(5p2∙12) + 4∙(5p ∙13) + 1∙(14)
- (1∙(5q4) + 4∙(5q3∙21) + 6∙(5q2∙22) + 4∙(5q∙23) + 1∙(24)
= 625p4 + 500p3 + 150p2 + 20p + 1 - (625q4 + 1000q3 + 600q2 + 20q + 16)
= (625p4 + 500p3 + 150p2 + 20p) - (625q4 + 1000q3 + 600q2 + 160q) – 16 + 1
= (625p4 + 500p3 + 150p2 + 20p) - (625q4 + 1000q3 + 600q2 + 160q + 15)
= 5∙(125p4 + 100p3 + 30p2 + 4p) - 5∙(125q4 + 200q3 + 120q2 + 32q + 3)
s = (125p4 + 100p3 + 30p2 + 4p)
t = (125q4 + 200q3 + 120q2 + 32q + 3)
m4 – n4 = 5s – 5t, delelig med 5.
Reknar ein ut dei andre kombinasjonane får ein same resultatet m4 – n4 = 5s – 5t, delelig med 5.
La n, m ϵ N. Vis at dersom n og m ikkje er deleleg med 5, er m4 – n4 deleleg med 5.
Kan denne oppgåva løysast på denne måten?
Når vi har fem tal etter kvarandre må eitt vere deleleg med 5.
Når m og n ikkje er deleleg med 5 må dei ha rest 1, 2, 3, eller 4 når vi deler med 5.
Vi testar alle moglege kombinasjonar med rest.
m = 5p + 1 (rest).
n = 5q + 1 (rest).
Dersom p = 5p + 1 og q = 5q + 2 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 1 og q = 5q + 3 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 1 og q = 5q + 4 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 2 og q = 5q + 1 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 2 og q = 5q + 3 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 2 og q = 5q + 4 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 3 og q = 5q + 1 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 3 og q = 5q + 2 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 3 og q = 5q + 4 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 4 og q = 5q + 1 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 4 og q = 5q + 2 så er m4 – n4, delelig med 5.
Dersom p = 5p + 4 og q = 5q + 3 så er m4 – n4, delelig med 5.
Viser det med eitt eksempel, Brukar pascals trekant i utrekninga:
m4 – n4 = (5p + 1)4 – (5q + 2)4
1∙(5p + 1)4 + 4∙(5p + 1)3 + 6∙(5p + 1)2 + 4∙(p + 1) + 1∙14
- (1∙(5q + 2)4 + 4∙(5q + 2)3 + 6∙(5q + 2)2 + 4∙(q + 2) + 1∙24
= 1∙(5p4) + 4∙(5p3∙11) + 6∙(5p2∙12) + 4∙(5p ∙13) + 1∙(14)
- (1∙(5q4) + 4∙(5q3∙21) + 6∙(5q2∙22) + 4∙(5q∙23) + 1∙(24)
= 625p4 + 500p3 + 150p2 + 20p + 1 - (625q4 + 1000q3 + 600q2 + 20q + 16)
= (625p4 + 500p3 + 150p2 + 20p) - (625q4 + 1000q3 + 600q2 + 160q) – 16 + 1
= (625p4 + 500p3 + 150p2 + 20p) - (625q4 + 1000q3 + 600q2 + 160q + 15)
= 5∙(125p4 + 100p3 + 30p2 + 4p) - 5∙(125q4 + 200q3 + 120q2 + 32q + 3)
s = (125p4 + 100p3 + 30p2 + 4p)
t = (125q4 + 200q3 + 120q2 + 32q + 3)
m4 – n4 = 5s – 5t, delelig med 5.
Reknar ein ut dei andre kombinasjonane får ein same resultatet m4 – n4 = 5s – 5t, delelig med 5.