Bevis at rekke konvergerer

[Markus]

Holder dette for å vise at $\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^2}$ konverger? Bruker integraltesten.

$f(x)=\frac{1}{x^2} =x^{-2}$

$\int^\infty_1 x^{-2} = \lim_{b\to \infty} \left [ - \frac{1}{x} \right ]^b_1 = \lim_{b \to \infty} \left (-\frac{1}{b} \right) - \left (-\frac{1}{1} \right) = 0 + 1 = 1$

Det uekte integralet konverger, og dermed vil også den uendelige summen $\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^2}$ konvergere.

[DennisChristensen]

Holder dette for å vise at $\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^2}$ konverger? Bruker integraltesten.

$f(x)=\frac{1}{x^2} =x^{-2}$

$\int^\infty_1 x^{-2} = \lim_{b\to \infty} \left [ - \frac{1}{x} \right ]^b_1 = \lim_{b \to \infty} \left (-\frac{1}{b} \right) - \left (-\frac{1}{1} \right) = 0 + 1 = 1$

Det uekte integralet konverger, og dermed vil også den uendelige summen $\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^2}$ konvergere.

Ja, integraltesten vil være gyldig her (og du bør forklare hvorfor).

En annen måte å vise at $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ konverger, som ikke krever integraltesten, er først å vise at $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}$ konvergerer (en teleskoperende rekke), og så bruke sammenlikningstesten ($\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n(n-1)}$ for $n\geq 2$).