Eksponentiallikninger

[jawwadakun]

Hvordan finner jeg eventuelle toppunkter- og bunnpunkter ved regning?
[tex]f(x)=e^x -e^(2x)[/tex]

[Aleks855]

Hva er den deriverte av funksjonen?

[jawwadakun]

Hva er den deriverte av funksjonen?

[tex]f'(x) = e^x - 2e^(2x)[/tex]
tror jeg er den deriverte.
Klarer ikke å opphøye 2x i denne tex-editoren, men håper du forstår.

[Aleks855]

Ja, det går fint

Hva vet vi om den deriverte og topp/bunnpunkter?

[jawwadakun]

Ja, det går fint

Hva vet vi om den deriverte og topp/bunnpunkter?

Når den deriverte av funksjonen er lik 0, har vi enten et topp- eller bunnpunkt. Forresten, tror jeg klarte å løse den. Jeg satte e^x utenfor funksjonen, og da får jeg [tex](1-2e^x)*e^x[/tex] . Jeg setter det lik 0, og vet at e^x = 0 går ikke, da jobber jeg bare med det som er inni parentesen. Og svaret jeg kom fram til er 1/2 = e^x -> x = ln(1/2) - > x = -0.69.
Det jeg skrev ble kanskje litt rotete, men kunne du ha hjulpet meg med å si om det er rett eller galt?

[Aleks855]

Du er på helt riktig spor.

Som du har kommet frem til, så har funksjonen et ekstremalpunkt der $x = \log\left(\frac12\right)$. Jeg ville skrevet dette som log(1/2) først, og heller gjort avrundingen etterpå. Det er log(1/2) som er den eksakte verdien. -0.69 er en tilnærming, og bør komme i tillegg til det eksakte svaret.

Det som gjenstår nå er to ting; du er ute etter punkter, og ikke bare en $x$-verdi. Et punkt er på formen $(x, f(x))$ så du må sette dette sammen.

I tillegg må du avgjøre om punktet er et toppunkt eller bunnpunkt.

[jawwadakun]

Du er på helt riktig spor.

Som du har kommet frem til, så har funksjonen et ekstremalpunkt der $x = \log\left(\frac12\right)$. Jeg ville skrevet dette som log(1/2) først, og heller gjort avrundingen etterpå. Det er log(1/2) som er den eksakte verdien. -0.69 er en tilnærming, og bør komme i tillegg til det eksakte svaret.

Det som gjenstår nå er to ting; du er ute etter punkter, og ikke bare en $x$-verdi. Et punkt er på formen $(x, f(x))$ så du må sette dette sammen.

I tillegg må du avgjøre om punktet er et toppunkt eller bunnpunkt.

Åjaaaaa, det har du helt rett i. Jeg vet hvordan jeg skal lage fortegnslinjer, men hvordan skal jeg tolke (1-2e^(x))*e^x i et fortegnsskjema? Hvordan vet jeg når grafen stiger eller synker utifra det der?

[Aleks855]

Vi har flere måter å se på dette på.

Et eksempel kan være å finne den dobbelderiverte av funksjonen. Hvis denne er positiv, så vil funksjonen ha en slags "smilemunn", som betyr at vi har et bunnpunkt. Hvis negativ, "surmunn" som har toppunkt.

En annen måte kan være å se på et par punkter ved siden av det du er ute etter. Vi vet at $f(\log(1/2))$ er et ekstremalpunkt. Hvis $f(\log(1/2) + 0.1) > f(\log(1/2)$ så må ekstremalpunktet være et bunnpunkt, fordi et av punktene i nærheten er større. Tilsvarende, men omvendt, test kan gjøres for å vise at punktet er toppunkt.

[DennisChristensen]

Merk deg for øvrig at vi kan skrive $\log\left(\frac12\right) = \log 1 - \log 2 = 0 - \log 2 = -\log 2.$