Ukjent konstant og rest i polynom

[michvaks]

Når vi dividerer de to polynomene:

[tex]x^3 + ax + 2x-1[/tex]

[tex]x^4 + ax^3 + 7x -2[/tex]

Med x-1, får vi den samme resten.

a) bestem den ukjente a.
b) Hvor stor er resten?

Her trenger jeg hjelp.. Aner ikke hva jeg skal gjøre når p(x)[tex]\neq[/tex] 0

[Emilga]

Her har du skrevet feil av oppgaven, da det skal være [tex]-ax^3[/tex] i andre likning (og ikke pluss).

Når [tex]p(x) \neq 0[/tex] er det bare å polynomdividere som vanlig.

Den eneste forskjellen er at du ikke ender opp med 0 når du er ferdig, men med [tex]a+2[/tex] som rest i første likning, og [tex]6-a[/tex] som rest når du polynomdividerer andre likning.

Oppgaven sier at disse restene skal være like.

Altså må [tex]a+2 = 6-a[/tex].

Denne likningen kan vi løse på vanlig måte.

[Michvaks]

[tex]-ax^3[/tex] stemmer ja..

Men hvorfor kan jeg ikke bruke p(1) for p(x) for først å finne det som er i rest, for så å finne a? Det er vanligvis sånn jeg løser det eller må jeg dividere polynomet først for å finne rest, så finne a? Forvirret

[Michvaks]

[tex]P(1)=1^3+[/tex][tex]a(1)+2(1)-1[/tex]
P(1)=1+a+2-1 gir a+2 i rest for første likning.

P(1)=[tex]1^4-a(1)^3+7(1)-2[/tex]
P(1)=1-a+7-2 gir 6-a i rest for andre likning.

Siden resten skal være lik i begge polynom får vi:

2+a = 6-a = [tex]a^2 = 6-2[/tex]
a^2 = 4 gir a=2 så da må rest i begge ligninger være 4..

Er ikke denne fremgangsmåten brukbar?

[DennisChristensen]

[tex]P(1)=1^3+[/tex][tex]a(1)+2(1)-1[/tex]
P(1)=1+a+2-1 gir a+2 i rest for første likning.

P(1)=[tex]1^4-a(1)^3+7(1)-2[/tex]
P(1)=1-a+7-2 gir 6-a i rest for andre likning.

Siden resten skal være lik i begge polynom får vi:

2+a = 6-a = [tex]a^2 = 6-2[/tex]
a^2 = 4 gir a=2 så da må rest i begge ligninger være 4..

Er ikke denne fremgangsmåten brukbar?

Detnne fremgangsmåten vil gi riktig svar, ja. Merk deg hvorfor:

[+] Skjult tekst

Fra divisjonsalgoritmen har vi at det finnes et polynom $q(x)$ og en konstant $r$ slik at
$$P(x) = q(x)(x-1) + r.$$ Merk deg at $r$ er resten etter divisjon med $x-1$, og som du har skrevet:
$$P(1) = q(1)(1-1) + r = q(1)\cdot 0 + r = r.$$

Du har riktignok en skrivefeil i utregningen din. Det skal stå $2a = 4$, ikke $a^2 = 4$. Dermed ender vi med svaret $a=2$.

[Michvaks]

Stemmer! Takk!