matematikk.net

Hei! Jeg sliter veldig med det å sette opp bevis og lurte på om noen kunne hjelpe meg litt med noen oppgaver slik at jeg forhåpentligvis kan begynne å forstå litt.
a. Vis at x går opp i 24 [tex]\rightarrow[/tex] x går opp i 48
b.Bevis at denne påstanden er feil: x og y er irrasjonale tall[tex]\rightarrow[/tex] x+y er et irrasjonalt tall
c. La x være et rasjonalt tall og y et irrasjonalt tall. Gi et indirekte bevis for at x/y er et irrasjonalt tall.

matteem skrev:Hei! Jeg sliter veldig med det å sette opp bevis og lurte på om noen kunne hjelpe meg litt med noen oppgaver slik at jeg forhåpentligvis kan begynne å forstå litt.
a. Vis at x går opp i 24 [tex]\rightarrow[/tex] x går opp i 48
b.Bevis at denne påstanden er feil: x og y er irrasjonale tall[tex]\rightarrow[/tex] x+y er et irrasjonalt tall
c. La x være et rasjonalt tall og y et irrasjonalt tall. Gi et indirekte bevis for at x/y er et irrasjonalt tall.

(a) $x | 24 \implies$ det finnes et heltall $n$ slik at $24 = nx \implies 48 = 2nx \implies x | 48.$

(b) Vi vet at $\sqrt{2}$ er irrasjonalt. Dermed er også $-\sqrt{2}$ irrasjonalt. Lar vi $x = \sqrt{2}$ og $y = -\sqrt{2}$ får vi at $x + y = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0,$ som jo er rasjonalt, hvilket motbeviser påstanden.

(c) $x$ er rasjonalt, så vi kan skrive $x = \frac{a}{b},$ der $a$ og $b$ er heltall og $b\neq 0$. Dersom $a=0$ har vi at $x=0$, og det er åpenbart at $\frac{x}{y} = 0$ ikke er irrasjonalt, så vi kan anta at $a \neq 0$. Anta i jakt på en selvmotsigelse at $\frac{x}{y}$ er rasjonalt. Da kan vi skrive $\frac{x}{y} = \frac{c}{d},$ der $c$ og $d$ er heltall og $d \neq 0$. Altså har vi at $$\frac{c}{d} = \frac{x}{y} = \frac{\frac{a}{b}}{y} = \frac{a}{by},$$ så $$y = \frac{c}{d}\frac{b}{a} = \frac{bc}{ad},$$ så $y$ er rasjonalt, hvilket er en selvmotsigelse.

Tusen takk for hjelpen! Jeg skjønte det nå