matematikk.net

Leddene i en rekke er gitt ved det n'te leddet [tex]a_{n}=\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}[/tex]
a) Vis at s6 = [tex]\frac{1}{2}-\frac{7}{8}[/tex], når s er summen av rekka
b) Vis at sn = [tex]\frac{1}{2}-\frac{n+1}{n+2}[/tex]

Noen som klarer den?
Er forresten en c) oppgave òg:
Forklar at sn også kn skrives sn = -1/2 + 1/(n+2) og bruk dette til å forklare hvorfor rekka er konvergent og finn summen til den konvergente rekka

...

Hint til (a) og (b):
Observer at leddet med negativt fortegn i $a_n$ vil ha negativt fortegn i $a_{n+1}$. Hva skjer da når flere påfølgende ledd summeres?

(c):
Fra (b) vet vi at $s_n = \frac12 - \frac{n+1}{n+2}$. Ettersom $$\left(-\frac12 + \frac{1}{n+2}\right) - \left(\frac12 - \frac{n+1}{n+2}\right) = -1 + \frac{1 + (n+1)}{n+2} = -1 + 1 = 0,$$
har vi altså at $s_n = -\frac12 + \frac{1}{n+2}.$

Vi vet at $\frac{1}{n+2} \rightarrow 0$ når $n\rightarrow \infty$, så $s_n = -\frac12 + \frac{1}{n+2} \rightarrow -\frac12 + 0 = -\frac12$ når $n\rightarrow\infty.$