Hei!
Jeg sitter og gjør R1 eksamener, hvor den siste oppgaven ber oss løse denne ligningen med hensyn på x.
[tex]n^{2} * (\frac{x}{n})^{lg(x)-2} = x^{2}[/tex]
Jeg går frem slik for å løse den:
[tex](\frac{x}{n})^{lg(x)-2}=\frac{x^{2}}{n^{2}}[/tex]
[tex]lg(\frac{x}{n})^{lg(x)-2}=lg(\frac{x}{n})^{2}[/tex]
[tex](lg(x)-2) * lg(\frac{x}{n})=2* lg(\frac{x}{n})[/tex]
[tex](lg(x)-2)=2\Rightarrow lgx = 4 \Rightarrow x = 10000[/tex]
Men, for interessen sin skyld har jeg lyst til å vende og vri litt på det. Hvis vi løser med hensyn på n istedenfor x, blir det slik:
[tex](lg(x)-2) * lg(\frac{x}{n})=lg(\frac{x}{n})^{2}[/tex]
[tex](lg(x)-2)=lg(\frac{x}{n})[/tex]
Altså her forkorter jeg [tex]lg\frac{x}{n}[/tex] mot hverandre, istedenfor å flytte 2-tallet ned etter logaritmeregler.
[tex](lg(x)-2)=lg(\frac{x}{n})\Rightarrow lgx - lgx - 2 = -lgn \Rightarrow lgn = 2[/tex]
[tex]lgn = 2 \Rightarrow n = 100[/tex]
Jeg ser ingen feil i utregningen her, men klarer ikke helt å vri hodet mitt rundt forskjellen på de to svarene. Hva vil egentlig "med hensyn på" si, litt bedre forklart?
Bonusspørsmål: ligningen er av andre grad, vi har funnet kun én løsning. Fasiten sier at dersom x = n vil brøken = 1 og ligningen vil stemme. Altså løsning nr to. Dette er er veldig "kreativ" fremgangsmåte og vanskelig å se før man leser fasiten, har noen noen tips til hvordan man kan gå frem her? Eller burde x^2 tenne et par lyspærer om at vi vil ha to løsninger, og da begynne å lete etter åpenbare løsninger?
Tusen takk for hjelp!
Løsning av ligning med hensyn
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Når du deler på begge sider med [tex]\lg (\frac xn)[/tex] så er kravet for at dette skal være lov at [tex]\lg (\frac xn) \neq 0[/tex].goobigofs skrev: [tex](lg(x)-2) * lg(\frac{x}{n})=2* lg(\frac{x}{n})[/tex]
[...]
Bonusspørsmål: ligningen er av andre grad, vi har funnet kun én løsning. Fasiten sier at dersom x = n vil brøken = 1 og ligningen vil stemme. Altså løsning nr to. Dette er er veldig "kreativ" fremgangsmåte og vanskelig å se før man leser fasiten, har noen noen tips til hvordan man kan gå frem her? Eller burde x^2 tenne et par lyspærer om at vi vil ha to løsninger, og da begynne å lete etter åpenbare løsninger?
Med andre ord så kan vi miste en av løsningene dersom det viser seg at [tex]\lg (\frac xn)[/tex] kan være lik null.
Så, for å finne den andre løsningen, setter vi:
[tex]\lg (\frac xn) = 0[/tex]
[tex]\frac xn = 10^0 = 1[/tex]
[tex]\Rightarrow x = n[/tex] er også en løsning.
Det er viktig å huske at [tex]lg(\frac{x}{n})^{2}[/tex] ikke er det samme som [tex]\left( lg(\frac{x}{n})\right)^2[/tex].goobigofs skrev:
[tex](lg(x)-2) * lg(\frac{x}{n})=lg(\frac{x}{n})^{2}[/tex]
[tex](lg(x)-2)=lg(\frac{x}{n})[/tex]
Altså her forkorter jeg [tex]lg\frac{x}{n}[/tex] mot hverandre, istedenfor å flytte 2-tallet ned etter logaritmeregler.
[...]
Jeg ser ingen feil i utregningen her, men klarer ikke helt å vri hodet mitt rundt forskjellen på de to svarene. Hva vil egentlig "med hensyn på" si, litt bedre forklart?
Siden vi har [tex]lg(\frac{x}{n})^{2}[/tex] i første linje, kan vi ikke dele på [tex]lg(\frac{x}{n})[/tex] på begge sider og dermed sitte igjen med [tex]lg(\frac{x}{n})[/tex] på høyre side, og resten av utledningen blir dermed feil.
Å løse en ligning "med hensyn på" betyr bare hvilken bokstav/ukjent vi setter på venstre side av likhetstegnet.
F.eks., hvis vi har ligningen for en ideell gass, [tex]pV = nRT[/tex], så kan vi løse den med hensyn på trykket [tex]p = \frac {nRT}V[/tex], eller vi kan løse den med hensyn på temperaturen [tex]T = \frac{pV}{nR}[/tex].
Supert, takk!Emomilol skrev:Når du deler på begge sider med [tex]\lg (\frac xn)[/tex] så er kravet for at dette skal være lov at [tex]\lg (\frac xn) \neq 0[/tex].goobigofs skrev: [tex](lg(x)-2) * lg(\frac{x}{n})=2* lg(\frac{x}{n})[/tex]
[...]
Bonusspørsmål: ligningen er av andre grad, vi har funnet kun én løsning. Fasiten sier at dersom x = n vil brøken = 1 og ligningen vil stemme. Altså løsning nr to. Dette er er veldig "kreativ" fremgangsmåte og vanskelig å se før man leser fasiten, har noen noen tips til hvordan man kan gå frem her? Eller burde x^2 tenne et par lyspærer om at vi vil ha to løsninger, og da begynne å lete etter åpenbare løsninger?
Med andre ord så kan vi miste en av løsningene dersom det viser seg at [tex]\lg (\frac xn)[/tex] kan være lik null.
Så, for å finne den andre løsningen, setter vi:
[tex]\lg (\frac xn) = 0[/tex]
[tex]\frac xn = 10^0 = 1[/tex]
[tex]\Rightarrow x = n[/tex] er også en løsning.
Da fikk vi oppklart det - veldig logisk. Det var det jeg alltid hadde tenkt, at å løse "med hensyn på" var hvilket tegn vi setter på venstre side. Problemet oppsto når jeg fikk forskjellige løsninger, men det er tydelig nå at grunnen til det var potensforståelsen min av logaritmer.Emomilol skrev:Det er viktig å huske at [tex]lg(\frac{x}{n})^{2}[/tex] ikke er det samme som [tex]\left( lg(\frac{x}{n})\right)^2[/tex].goobigofs skrev:
[tex](lg(x)-2) * lg(\frac{x}{n})=lg(\frac{x}{n})^{2}[/tex]
[tex](lg(x)-2)=lg(\frac{x}{n})[/tex]
Altså her forkorter jeg [tex]lg\frac{x}{n}[/tex] mot hverandre, istedenfor å flytte 2-tallet ned etter logaritmeregler.
[...]
Jeg ser ingen feil i utregningen her, men klarer ikke helt å vri hodet mitt rundt forskjellen på de to svarene. Hva vil egentlig "med hensyn på" si, litt bedre forklart?
Siden vi har [tex]lg(\frac{x}{n})^{2}[/tex] i første linje, kan vi ikke dele på [tex]lg(\frac{x}{n})[/tex] på begge sider og dermed sitte igjen med [tex]lg(\frac{x}{n})[/tex] på høyre side, og resten av utledningen blir dermed feil.
Å løse en ligning "med hensyn på" betyr bare hvilken bokstav/ukjent vi setter på venstre side av likhetstegnet.
F.eks., hvis vi har ligningen for en ideell gass, [tex]pV = nRT[/tex], så kan vi løse den med hensyn på trykket [tex]p = \frac {nRT}V[/tex], eller vi kan løse den med hensyn på temperaturen [tex]T = \frac{pV}{nR}[/tex].
Jeg hadde gjort en rekke forsøk i Wolframalpha og Geogebra for nettopp å teste dette, om [tex](lg(\frac{x}{n}))^2 \neq lg(\frac{x}{n})^2[/tex], og det virket sånn. Kan man da skrive [tex](lg(\frac{x}{n}))^2[/tex] som [tex]lg^2(\frac{x}{n})[/tex] for å unngå forvirring, på lik linje med sin/cos/tan?
Personlig synes jeg dette er en god løsning!goobigofs skrev:Kan man da skrive [tex](lg(\frac{x}{n}))^2[/tex] som [tex]lg^2(\frac{x}{n})[/tex] for å unngå forvirring, på lik linje med sin/cos/tan?
Veldig enig med deg der, virker som at dette burde være standard praksis - er det det? Kan jeg forvente å se det på en eksamen, eller er det en upålitelig forventing?Emomilol skrev:Personlig synes jeg dette er en god løsning!goobigofs skrev:Kan man da skrive [tex](lg(\frac{x}{n}))^2[/tex] som [tex]lg^2(\frac{x}{n})[/tex] for å unngå forvirring, på lik linje med sin/cos/tan?
Jeg tror nok du dessverre må finne deg i å se $\left (lg(\frac{x}{n}) \right)^2$ på eksamen. Allikevel, synes jeg forslaget ditt til en annen omskriving er god praksis, slik som andre også har kommentert!goobigofs skrev:Veldig enig med deg der, virker som at dette burde være standard praksis - er det det? Kan jeg forvente å se det på en eksamen, eller er det en upålitelig forventing?Emomilol skrev:Personlig synes jeg dette er en god løsning!goobigofs skrev:Kan man da skrive [tex](lg(\frac{x}{n}))^2[/tex] som [tex]lg^2(\frac{x}{n})[/tex] for å unngå forvirring, på lik linje med sin/cos/tan?
Den er godmattemarkus skrev: Jeg tror nok du dessverre må finne deg i å se $\left (lg(\frac{x}{n}) \right)^2$ på eksamen. Allikevel, synes jeg forslaget ditt til en annen omskriving er god praksis, slik som andre også har kommentert!
Takk for svar!