matematikk.net

Er meningen at jeg skal bevise at dette gjelder for alle n og lurte på om dette er gyldig eller om jeg har snubla noen plass

[tex](cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx)[/tex]

Basistilfelle

n=1

[tex](cos(x)+isin(x))^1=cos(x)+isin(x)[/tex]

Basistilfellet stemmer.


Induksjonssteget

n=k

[tex](cos(x)+isin(x))^k=cos(kx)+isin(kx)[/tex]

n=k+1

[tex](cos(x)+isin(x))^{k+1}=(cos(x)+isin(x))(cos(kx)+isin(kx))[/tex]

[tex]=cos(x)cos(kx)+i^2sin(x)sin(kx)+isin(x)cos(kx)+isin(kx)cos(x)[/tex]

[tex]=cos(x)cos(kx)-sin(x)sin(kx)+i(sin(x)cos(kx)+sin(kx)cos(kx))[/tex]

bruker reglene for [tex]sin(a+b) \ og \ cos(a+b))[/tex].

[tex](cos(x)+isin(x))^{k+1}=cos(k+1)x+isin(k+1)x \Leftrightarrow (cos(x)+isin(x))^n=cos(nx)+isin(nx)[/tex]

Ser riktig ut!

Emolilol har allerede gitt kommentar på riktigheten av beviset.

En annen måte å bevise de Moivres formel er via Eulers formel. Rent historisk var vel de Moivre ute med denne formelen før Euler, så det var ikke slik formelen ble utledet originalt.

Eulers formel er som følger;
$e^{i \theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$

Utledning av de Moivres formel er da veldig enkel;
$(1) \enspace \enspace (e^{i \theta})^n = (\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n$

Ved enkle potensregler ser vi at $(e^{i \theta})^n = e^{i n \theta}$

Da får vi "funksjonsargumentet" lik $n \theta$. Med andre ord;
$(2) \enspace \enspace e^{i n \theta} = \cos(n \theta) + i\sin(n \theta)$

Og siden 1 og 2 er lik hverandre ender vi opp med de Moivres formel;
$(\cos(\theta) + i\sin(\theta))^n = \cos(n \theta) + i\sin(n \theta)$

I spoileren ligger den mest tradisjonelle måten å utlede Eulers formel på; ved Taylor-rekker, eller nærmere bestemt; Maclaurin-rekker, som er Taylor-rekker rundt $x=0$.

[+] Skjult tekst

Utledning ved Maclaurin-rekker
Jeg antar at du vet hva Maclaurin-rekker er fra før. Hvis ikke, er det ikke noe vanskelig å lese seg opp på.

Maclaurinrekken til $e^\theta$ er
$e^\theta = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + \theta + \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^3}{3!} + \dots$

Maclaurinrekken til $e^{i \theta}$ blir da
$e^{i\theta} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^n}{n!} = 1 + i\theta + \frac{i^2 \theta^2}{2!} + \frac{i^3 \theta^3}{3!} + \frac{i^4 \theta^4}{4!} + \frac{i^5 \theta^5}{5!} + \frac{i^6 \theta^6}{6!} + \frac{i^7 \theta^7}{7!} + \frac{i^8 \theta^8}{8!} + \dots$
$e^{i\theta} = 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - \frac{i\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!} + \frac{i\theta^5}{5!} - \frac{\theta^6}{6!} - \frac{i \theta^7}{7!} + \frac{\theta^8}{8!} + \dots = \left (1 - \frac{\theta^2}{2!} +\frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} - \dots \right) + i \left (\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \dots \right)$

Maclaurinrekken til $\sin(\theta)$ er
$\sin(\theta) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\theta^{2n+1} = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \dots$

Og Maclaurrinrekken til $\cos(\theta)$ er
$\cos(\theta) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n!)}\theta^{2n} = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} - \dots$

Som vi ser har vi Maclaurrinrekkene til $\cos(\theta)$ og $\sin(\theta)$ inne i de respektive parantesene til $e^{i\theta}$, ergo er;
$e^{i\theta} = \left (1 - \frac{\theta^2}{2!} +\frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \frac{\theta^8}{8!} - \dots \right) + i \left (\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \dots \right) = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$