Kombinatorikk

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Kombinatorikk

Innlegg g1ma2 » 19/10-2017 09:44

Følgende oppg.
nu har 9 kuler, 3 oransje, 2 gule og 4 blå.

Du skal trekke 4 kuler, hvor mange mulige kombinasjoner er det
a) med tilbakelegging
b) uten tilbakelegging

Også, hvor mange kombinasjoner er det dersom det skal være minst 2 blå kuler, når du trekker 4. (uten tilbakelegging)
Her har jeg tegnet meg frem til 9 kombinasjoner....

Men regnemetodene er det værre med. Har vært inne på noe fakultet greier uten hell. Tror jeg.

Hjelp?
g1ma2 offline

Re: Kombinatorikk

Innlegg OYV » 19/10-2017 10:26

a) Med tilbakelegging: Vi har hele tiden tre farger ( mulige utfall ) i potten.

Antall mulige kombinasjoner blir da: 3 * 3 * 3 * 3 = 3^4 = 81

b) Uten tilbakelegging: I første trekning har vi tre mulige utfall.
I andre trekning har vi fortsatt tre mulige utfall, men nå er de gule "fjernet".
I tredje trekning står vi igjen med to mulige utfall , orange eller blå.
(dermed er også de orange kulene "fjernet" )
I 4. trekning er det bare ett mulig utfall ( vi trekker en blå kule).

Antall mulige kombinasjoner: 3 *3 * 2* 1 = 18

c) Minst to blå kuler: Da har vi tre mulige utfall på 2. og 3. trekning, dvs. 3 * 3 kombinasjoner = 9 kombinasjoner
OYV offline

Re: Kombinatorikk

Innlegg g1ma2 » 19/10-2017 12:07

Takk for svar og hjelp!
Den første kom jeg også til 3^4= 81, som virket mest fornuftig.
Den siste også ok.

Det er den andre der. Hvorfor fjernes gul i andre trekning? Hvordan bestemmer vi at den fargen ikke er med?
Den skjønte jeg ikke. Tilfeldig eller er det en regel her?
g1ma2 offline

Re: Kombinatorikk

Innlegg OYV » 19/10-2017 12:27

Forutsetningen for 3 mulige utfall i både 1. og 2. trekning er at alle tre fargene er med i de to første "trekningene".
Det betyr at de gule kulene kan ikke være med i 3. og 4. trekning.
Sagt på en annen måte: I de to første trekningene har vi "trukket ut" to kuler av hver farge, dvs. begge de gule kulene
er "fjernet" . En grei forklaring , ........eller ?
OYV offline

Re: Kombinatorikk

Innlegg OYV » 19/10-2017 17:11

Hei ! Har vært uten tilgang til PC i 4 timer.

De løsningene jeg presenterte på punkt b) og c) har betydelige feil og mangler.

Hvis du vil gi meg 15 - 20 minutter, så skal jeg presentere et løsningsforslag som forhåpentligvis
"holder vann".
OYV offline

Re: Kombinatorikk

Innlegg OYV » 19/10-2017 17:40

Punkt b) :

La nvære antall blå kuler i en kombinasjon bestående av elementer.

1) n = 4: Fire kuler kan plasseres i fire posisjoner på bare en måte. Altså en(1) kombinasjon.

2) n = 3: Tre kuler kan plasseres i fire posisjoner på (4 over 3) = 4 ulike måter.
Den ledige plassen kan fylles med anten en gul eller en orange kule.
Det gir i alt 4* (1 +1 ) komb. = 8 komb.

3) n = 2: 2 kuler kan plasseres i i 4 mulige posisjoner på (4 over 2) = 6 ulike måter.
De resterende plassene kan fylles opp med 2 gule eller 2 Orange eller en av hver.
I sistnevnte tilfelle kan disse stilles opp i 2 ulike rekkefølger.
Det gir i alt 6 * (1 +1 + 2 ) komb. = 24 komb.

4) n = 1: En kule kan plasseres i 4 ulike posisjoner på (4 over 1 ) = 4 ulike måter.
De ledige plassene kan da fylles opp med i) tre Orange kuler eller ii) 2 Orange og en gul
eller iii) 2 gule og en Orange.
I tilfelle ii) og iii) kan disse plasseres på (3 over 2) = 3 ulike måter .
Det gir i alt 4 * (1 + 2*3) komb. = 28 komb.
5) n =0: Her kan vi ha i ) 3 Orange og en hvit eller 2) 2orange og 2 hvite.
I tilfelle i ) kan vi ha (4 over tre) komb. = 4 komb. og i tilfelle ii) (4 over 2 ) = 6 komb.
Det gir i alt 10 komb.

Sum = 1 + 8 + 24 + 28 + 10 = 71
OYV offline

Re: Kombinatorikk

Innlegg OYV » 19/10-2017 17:58

c) Minst to blå kuler.

To blå kuler kan plasseres i fire mulige posisjoner på (4 over 2 ) = 6 ulike måter.
Da sitter vi igjen med tre alternativ (orange , gul eller blå) på hver av de ledige plassene.
Det gir i alt 6 * 3 * 3 ulike komb. = 54 komb.

Vil gjerne ha innspill og kommentarer til dette løsningsforslaget.
Hvis noen kan påvise feil , så må han/hun bare si fra.
OYV offline

Re: Kombinatorikk

Innlegg OYV » 19/10-2017 20:26

Hallo igjen ! Innser nå at løsningen på punkt b) kan synes unødig tungvint.

Her presenterer jeg en enklere og etter min mening en langt mer elegant løsning:

Når kulene trekkes med tilbakelegging, går vi i alt 81 mulige kombinasjoner ( jamfør punkt a) )

Nå vil jeg "identifisere" de kombinasjonene i a) som ikke er med i b). Disse er

i) 4 Orange kuler

ii) 4 gule kuler

iii) 3 gule kuler

i) og ii) har åpenbart bare en kombinasjon hver.

iii) har (4 over 3) * ( 1 + 1 ) kombinasjoner = 4 * 2 komb. = 8 komb.

Tilfella i) , ii) og iii) har da i alt (1 + 1 + 8 ) komb. = 10 komb.

Tallet på komb. når kulene trekkes med tilbakelegging blir da: ( 81 - 10 ) komb. = 71 komb.
OYV offline

Re: Kombinatorikk

Innlegg g1ma2 » 02/11-2017 09:45

Takker så mye for all engasjement!

Stor hjelp! :)
g1ma2 offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Bing [Bot], Google [Bot], Google Adsense [Bot] og 57 gjester