Vektorregning for å finne punkt

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Vektorregning for å finne punkt

Innlegg anon » 20/10-2017 22:11

Hei! Har slitt med denne oppgaven i hele dag, og har tenkt og tenkt men ikke kommet fram til det svaret fasit sier, men svært frustrerende nærme...
Oppgave 3.85 fra Sigma R1, som lyder som følger (a er forsåvidt ikke noe jeg trenger hjelp med):

Vi har punktene A(4,0), B(x,y), C(5,7) og D(3,5). La S være skjæringspunktet mellom diagonalene AC og BD.
a) Lag en figurskisse der du tegner inn A, C og D, og også et forslag til B. Tegn inn diagonalene.
b) Finn koordinatene til B slik at BS er dobbelt så lang som DS, og CS er dobbelt så lang som AS.


Dette har jeg tenkt:

Definerer/regner ut først de enkleste linjestykkene:
[tex]\overrightarrow{AB}=\left [ x-4,y \right ][/tex], [tex]\overrightarrow{AC}=\left [ 5-4,7 \right ]=\left [ 1,7 \right ][/tex], [tex]\overrightarrow{BD}=\left [3-x,5-y \right ][/tex] , [tex]\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{BD}=-\left [ 3-x,5-y \right ]=\left [ x-3, y-5 \right ][/tex]

Regner så ut [tex]\overrightarrow{AS}[/tex]:
[tex]\left | \overrightarrow{CS} \right |=2\left | \overrightarrow{AS} \right |[/tex]
[tex]\left | \overrightarrow{CS} \right |+\left | \overrightarrow{AS} \right |=\left | \overrightarrow{AC} \right |[/tex]
[tex]3\left | \overrightarrow{AS} \right |=\left | \overrightarrow{AC} \right |[/tex]
[tex]\left | \overrightarrow{AS} \right |=\frac{1}{3}\left | \overrightarrow{AC} \right |=\frac{1}{3}\left [ 1,7 \right ]=\left [ \frac{1}{3},\frac{7}{3} \right ][/tex]

Så [tex]\overrightarrow{DS}[/tex] og [tex]\overrightarrow{BS}[/tex]:
[tex]\left | \overrightarrow{BS} \right |=2\left | \overrightarrow{DS} \right |[/tex]
[tex]\left | \overrightarrow{BS} \right |+\left | \overrightarrow{DS} \right |=\left | \overrightarrow{DB} \right |[/tex]
[tex]3\left | \overrightarrow{DS} \right |=\left | \overrightarrow{DB} \right |[/tex]
[tex]\left | \overrightarrow{DS} \right |=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\left [ x-3,y-5 \right ]=\left [ \frac{x-3}
[tex]\overrightarrow{BS}=2\left [ \frac{x-3}{3},\frac{y-5}{3} \right ]=\left [ \frac{2x-6}{3},\frac{2y-10}{3} \right ][/tex]
{3},\frac{y-5}{3} \right ][/tex]

Uttrykker så [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] på enda en måte:
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{BS}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}=\left [ \frac{1}{3},\frac{7}{3} \right ]-\left [ \frac{2x-6}{3},\frac{2y-10}{3} \right ]=\left [ \frac{-2x+7}{3}, \frac{-2y+17}{3} \right ][/tex]

Tenker da at man skal sette [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}[/tex], men når jeg prøvde det kom jeg ikke fram til svaret som er B(7, -3). Har sikkert gjort en eller annen slurvefeil eller noe som ødelegger alt, men greier ikke se det, ellers så er oppgaven mye mer åpenbar enn jeg tror...
anon offline

Re: Vektorregning for å finne punkt

Innlegg Gjest » 21/10-2017 03:08

Finnes flere måter å gjøre dette på. Her er en (sikkert ikke den mest effektive):
$AS = \frac{1}{3}AC$
$AS = \frac{1}{3}[5-4,7]=\left[\frac{1}{3}, \frac{7}{3} \right]$

$AS = [s1-4, s2] = \left[\frac{1}{3}, \frac{7}{3} \right]$
$s1-4=\frac{1}{3} \wedge s2=\frac{7}{3}$
$s1 = \frac{13}{3} \wedge s2=\frac{7}{3}$

$BS = \frac{2}{3}DS$
$BS = \frac{2}{3}[3-x,5-y] = [s1-x, s2-y]$
$2-\frac{2}{3}x = \frac{13}{3}-x \wedge \frac{10}{3}-\frac{2}{3}y = \frac{7}{3}-y$
$x = 7 \wedge y=-3$

$B(7, -3)$
Gjest offline

Re: Vektorregning for å finne punkt

Innlegg anon » 21/10-2017 14:26

Takker for svar! :-)
anon offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Bing [Bot] og 51 gjester