Hvorfor er ikke sinus(x)=1/sinus invers(x)
[tex]\frac{1}{(sin(x))^{-2}}=(sin(x))^2=sin^2(x)---|---sin^1(x)=(sin(x))^1\neq \frac{1}{sin^{-1}(x)}[/tex]
Lurer på noe angående invers funksjonen
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Gjest
Dette er mine tanker uten at jeg fant noen andre gode kilder.
Kort fortalt: Slapp notasjon fører til forvirring mellom "opphøyd i -1" og invers og man bruker dermed ikke -1 notasjonen til å bety "opphøyd i -1" for funksjoner som sinus (uten bruk av parenteser). Opphøyd i alt annet enn -1 har ikke noen annen betydning så da er det fritt fram.
Lengre fortalt:
Invers tilsier motsatt regneoperasjon. Den vanligste formen er med potenser hvor det motsatte av å gange er å dele. Dette betyr at $a^x = a \cdot a ...$ og $a^{-x}= \frac{1}{x \cdot x...}$. Å opphøye noe i -1 er med andre ord som oftest synonymt med å finne reciprocal (engelsk) av tallet. -1 har dermed blitt vanlig notasjon på invers, men det er viktig å huske at den inverse av en funksjon ikke er det samme som reciprocal av en funksjon. Alle opphøyd i -1 er inverser, men ikke alle inverser er å opphøye i -1.
Så hva er det motsatte av å bruke vinkelen til å finne forholdet mellom to sidekanter? Det motsatte er å bruke forholdet til å finne vinkelen. Det er dette man gjør man når tar invers av sinus altså er ikke invers av sinus det samme som 1/sinus, men sinus opphøyd i -1 er det samme som 1/sinus.
Man skriver $sin^2(x)$ for å skille den fra $sin(x^2)$. Det er ikke så lett å vite hva man mener hvis man f.eks. skriver $sin x^2$ så bruk parentesene flittig. Av samme grunn bruker man også $arcsin(x)$ som den inverse av $sin(x)$ istedenfor $sin^{-1}(x)$ for å skille den fra reciprocal av $sin(x)$ som noteres $(sin(x))^{-1}$ ofte sleivhendt som $sin x^{-1}$ eller $sin^{-1}x$.
Fremdeles brukes derimot $sin^{-1} x$ som notasjon for "invers av sinus" så det blir dermed feil å påstå at sinx = 1/invers av sinus. Det som alltid stemmer er at $(sin(x))^{-1} = \frac{1}{sin(x)}$. Jeg anbefaler deg derfor å bruke arcsin(x) istedenfor $sin^{-1}(x)$ når du skriver "invers av sinus", og alltid bruke parenteser rundt hele uttrykket når du mener "reciprocal av sinus".
Kort fortalt: Slapp notasjon fører til forvirring mellom "opphøyd i -1" og invers og man bruker dermed ikke -1 notasjonen til å bety "opphøyd i -1" for funksjoner som sinus (uten bruk av parenteser). Opphøyd i alt annet enn -1 har ikke noen annen betydning så da er det fritt fram.
Lengre fortalt:
Invers tilsier motsatt regneoperasjon. Den vanligste formen er med potenser hvor det motsatte av å gange er å dele. Dette betyr at $a^x = a \cdot a ...$ og $a^{-x}= \frac{1}{x \cdot x...}$. Å opphøye noe i -1 er med andre ord som oftest synonymt med å finne reciprocal (engelsk) av tallet. -1 har dermed blitt vanlig notasjon på invers, men det er viktig å huske at den inverse av en funksjon ikke er det samme som reciprocal av en funksjon. Alle opphøyd i -1 er inverser, men ikke alle inverser er å opphøye i -1.
Så hva er det motsatte av å bruke vinkelen til å finne forholdet mellom to sidekanter? Det motsatte er å bruke forholdet til å finne vinkelen. Det er dette man gjør man når tar invers av sinus altså er ikke invers av sinus det samme som 1/sinus, men sinus opphøyd i -1 er det samme som 1/sinus.
Man skriver $sin^2(x)$ for å skille den fra $sin(x^2)$. Det er ikke så lett å vite hva man mener hvis man f.eks. skriver $sin x^2$ så bruk parentesene flittig. Av samme grunn bruker man også $arcsin(x)$ som den inverse av $sin(x)$ istedenfor $sin^{-1}(x)$ for å skille den fra reciprocal av $sin(x)$ som noteres $(sin(x))^{-1}$ ofte sleivhendt som $sin x^{-1}$ eller $sin^{-1}x$.
Fremdeles brukes derimot $sin^{-1} x$ som notasjon for "invers av sinus" så det blir dermed feil å påstå at sinx = 1/invers av sinus. Det som alltid stemmer er at $(sin(x))^{-1} = \frac{1}{sin(x)}$. Jeg anbefaler deg derfor å bruke arcsin(x) istedenfor $sin^{-1}(x)$ når du skriver "invers av sinus", og alltid bruke parenteser rundt hele uttrykket når du mener "reciprocal av sinus".
Enig der. Legg også merke til at hvis du skal studere matte videre, så brukes gjerne også [tex]f^{-1}[/tex] om inversfunksjonen til f.
-
Gjest
Man kan lure på hvorfor det har endt opp sånn ja. Det er egentlig er ganske godt spørsmål fra trådstarter så jeg skulle likt å høre hva noen flere hadde å si om det.Emomilol skrev:Enig der. Legg også merke til at hvis du skal studere matte videre, så brukes gjerne også [tex]f^{-1}[/tex] om inversfunksjonen til f.
Hva med andre funksjoner? Skriver man $ln^2(x)$ eller $f^2(x)$? Hva med litt rarere funksjoner som step functions H^2(x), hva i alle dager er det? Tar man rett og slett verdien fra funksjonen og ganger med seg selv? Hva hvis funksjonen gir flere verdier?
Notasjonen $^{-1}$ betyr invers i de fleste sammenhenger. Grunnen til at du kjenner det som "opphøyd i minus første" er fordi dette er som regel det første eksemplet på inverser man lærer.Gjest skrev:Man kan lure på hvorfor det har endt opp sånn ja. Det er egentlig er ganske godt spørsmål fra trådstarter så jeg skulle likt å høre hva noen flere hadde å si om det.Emomilol skrev:Enig der. Legg også merke til at hvis du skal studere matte videre, så brukes gjerne også [tex]f^{-1}[/tex] om inversfunksjonen til f.
Hva med andre funksjoner? Skriver man $ln^2(x)$ eller $f^2(x)$? Hva med litt rarere funksjoner som step functions H^2(x), hva i alle dager er det? Tar man rett og slett verdien fra funksjonen og ganger med seg selv? Hva hvis funksjonen gir flere verdier?
For eksempel kjenner vi at $3^{-1} = \frac13$. Det man gjerne ikke lærer, er at dette er kjent som den "multiplikative inversen" til $3$. Dette betyr at $3 \cdot \frac13 = 1$, og $1$ er den multiplikative identiteten. To tall $x, y$ er altså hverandres multiplikative invers dersom $xy = 1$.
Når vi har en funksjon, for eksempel $\sin(x)$, så vil den "funksjonelle inversen" være en annen funksjon som gjør det motsatte av den opprinnelige funksjonen. Siden dette også er en invers, så noterer vi det som $\sin^{-1}(x)$, selv om de gjerne også får andre navn. At de er funksjonelle inverser betyr at $\sin(\sin^{-1}(x)) = x$ og vice versa.
Det kan være nyttig å se på inverser utfra et mer generelt synspunkt, men da må vi innføre noen begreper og definisjoner først:
En magma er definert som en mengde $S$ sammen med en binær operasjon $*$. Magmaen er i tillegg lukket i betydningen at dersom $s$ og $t$ er med i $S$, så er $s*t$ et element i $S$. Dersom $S$ inneholder et identitetselement (kall dette elementet $e$), så kalles $S$ unital.
Et identitetselement $e$ har egenskapen at $e*s=s*e=s$ for alle elementer $s$ i $S$.
Et element $s$ i $S$ har en (tosidig) invers, $t$, dersom $t*s=s*t=e$. I så fall kaller vi $t$ for $s^{-1}$.
Eksempel 1: Invers av reelle tall
La mengden $S$ være de reelle tallene (så $S=\mathbb{R}$), og binæroperasjonen være vanlig multiplikasjon: Da er $S$ en unital magma med identiteten $1$, og vi har følgende eksempler på inverser: $3^{-1}= \frac13$ (fordi $3\cdot \frac13 = \frac13 \cdot 3=1$), $45^{-1}=\frac{1}{45}$, $1^{-1}=1$, $(-2)^{-1}= -\frac12$ osv.
Eksempel 2: Invers av funksjoner
La $S$ være mengden av alle funksjoner med domene (0,1], som tar positive, reelle verdier, ie. $S=\{f:(0,1]\to \mathbb{R}^+\}$. La binæroperasjonen være funksjonskomposisjon, altså $f(x)*g(x) \overset{\mathrm{def}}{=} (f\circ g)(x)= f(g(x))$. I denne magmaen er funksjonen $e(x)=x$ identitetselementet, så vi har også her en unital magma. Hvis vi nå følger tankegangen bak inverser i en generell unital magma, så ser vi at inversen $f^{-1}(x)$ av en funksjon $f(x)$ må tilfredsstille følgende ligning: $f^{-1}(x)*f(x)=f^{-1}(f(x))=e(x)=x=f(x)*f^{-1}(x)=f(f^{-1}(x))$ for alle $x$ i $(0,1]$.
Dermed vil f.eks. $f(x)=x$ ha en invers $f^{-1}(x)=f(x)=x$. Videre vil $f(x)=x^2$ ha inversen $f^{-1}(x)= \sqrt{x}$ siden $(\sqrt{x})^2=x=(\sqrt{x^2})$ for alle $x\in(0,1]$.
$f(x)=\sin x$ vil da inversen $f^{-1}(x)=\arcsin x$. Herfra kommer notasjonen $\sin^{-1}x$, som er en forenkling der man sløyfer $f(x)$.
Med bakgrunn i dette kan vi nå forklare hvorfor $sin^{-1} x \neq \frac{1}{\sin x}$. Årsaken er at i tilfellet funksjoner, så er binæroperasjonen funksjonskomposisjon, og ikke vanlig multiplikasjon.
Når det gjelder notasjonen $f^2(x)$ så betyr det vanligvis komposisjonen $f(x) \circ f (x) = f(f(x))$. $f^3(x)=f(f(f(x)))$ osv. $f^n$ er definert for alle naturlige tall, samt $-1$. $f^{-2}(x)$ kan tolkes som den inverse av $g(x)=f^2 (x)=f(f(x))$.
En magma er definert som en mengde $S$ sammen med en binær operasjon $*$. Magmaen er i tillegg lukket i betydningen at dersom $s$ og $t$ er med i $S$, så er $s*t$ et element i $S$. Dersom $S$ inneholder et identitetselement (kall dette elementet $e$), så kalles $S$ unital.
Et identitetselement $e$ har egenskapen at $e*s=s*e=s$ for alle elementer $s$ i $S$.
Et element $s$ i $S$ har en (tosidig) invers, $t$, dersom $t*s=s*t=e$. I så fall kaller vi $t$ for $s^{-1}$.
Eksempel 1: Invers av reelle tall
La mengden $S$ være de reelle tallene (så $S=\mathbb{R}$), og binæroperasjonen være vanlig multiplikasjon: Da er $S$ en unital magma med identiteten $1$, og vi har følgende eksempler på inverser: $3^{-1}= \frac13$ (fordi $3\cdot \frac13 = \frac13 \cdot 3=1$), $45^{-1}=\frac{1}{45}$, $1^{-1}=1$, $(-2)^{-1}= -\frac12$ osv.
Eksempel 2: Invers av funksjoner
La $S$ være mengden av alle funksjoner med domene (0,1], som tar positive, reelle verdier, ie. $S=\{f:(0,1]\to \mathbb{R}^+\}$. La binæroperasjonen være funksjonskomposisjon, altså $f(x)*g(x) \overset{\mathrm{def}}{=} (f\circ g)(x)= f(g(x))$. I denne magmaen er funksjonen $e(x)=x$ identitetselementet, så vi har også her en unital magma. Hvis vi nå følger tankegangen bak inverser i en generell unital magma, så ser vi at inversen $f^{-1}(x)$ av en funksjon $f(x)$ må tilfredsstille følgende ligning: $f^{-1}(x)*f(x)=f^{-1}(f(x))=e(x)=x=f(x)*f^{-1}(x)=f(f^{-1}(x))$ for alle $x$ i $(0,1]$.
Dermed vil f.eks. $f(x)=x$ ha en invers $f^{-1}(x)=f(x)=x$. Videre vil $f(x)=x^2$ ha inversen $f^{-1}(x)= \sqrt{x}$ siden $(\sqrt{x})^2=x=(\sqrt{x^2})$ for alle $x\in(0,1]$.
$f(x)=\sin x$ vil da inversen $f^{-1}(x)=\arcsin x$. Herfra kommer notasjonen $\sin^{-1}x$, som er en forenkling der man sløyfer $f(x)$.
Med bakgrunn i dette kan vi nå forklare hvorfor $sin^{-1} x \neq \frac{1}{\sin x}$. Årsaken er at i tilfellet funksjoner, så er binæroperasjonen funksjonskomposisjon, og ikke vanlig multiplikasjon.
Når det gjelder notasjonen $f^2(x)$ så betyr det vanligvis komposisjonen $f(x) \circ f (x) = f(f(x))$. $f^3(x)=f(f(f(x)))$ osv. $f^n$ er definert for alle naturlige tall, samt $-1$. $f^{-2}(x)$ kan tolkes som den inverse av $g(x)=f^2 (x)=f(f(x))$.