Metoden for fullstendig kvadrat - div. oppgaver

[Straamann]

Jeg skal faktorisere følgende uttrykk:

y^2 - y - 42

Hvordan i huleste går jeg frem når det 2. leddet bare er en ukjent y?

[Gjest]

Generelt er:
$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$y^2 = a^2 \Rightarrow y=a$
$y^2+y-42 = y^2+y+b^2-b^2-42$
Må ha at:
$y = 2ab \Leftrightarrow b=\frac{y}{2a}=\frac{y}{2y}=\frac{1}{2}$
$y^2+y+\left(\frac{1}{2} \right)^2-\left(\frac{1}{2} \right)^2 - 42$
$\dfrac{4y^2+4y+1-1-168}{4}$

$\dfrac{\left(2y+1 \right)^2 - 169}{4}$ btw. $13^2 = 169$

$\dfrac{\left((2y+1) - 13 \right) \cdot \left((2y+1) + 13 \right))}{4}$

$\dfrac{(2y-12)(2y+14)}{4} = (y-6)(y+7)$

[Straamann]

Takk,

du har skrevet feil fortegn for y, men det har vel gjerne ikke så stor betydning for selve utregningen?
Oppgaven er y^2 - y - 42 altså negativ y.

Det jeg ikke skjønner, er hva du har gjort i siste del av utregningen, nå ruttrykket er faktorisert men står delt på 4. Hvordan blir du kvitt 4?

[Straamann]

Nevermind Fant ut av det

[Straamann]

Nei jeg skjønte det ikke likevel!

For å forkorte den siste brøken, må du jo faktorisere. Da setter vi 2 utenfor de to parentesen og forkorter mot 4 i nevneren (2*2).
Men det er vel ikke lov, siden det fremdeles er to ledd i teller?

[Straamann]

Har noen forslag til hvordan jeg kan faktorisere følgende oppgave mest mulig?

2x^2 + 3x -2

Prøvde meg med metoden for fullstendige kvadrater, men kom ikke lenger enn vedlagt.

Håper noen kan hjelpe

[Aleks855]

En liten slurvefeil der, men ellers riktig.



Og du har glemt et parentes-par. 2-tallet skal ganges med ALT det andre. Ikke bare kvadratet.

[Straamann]

Takk, da ordnet det seg

[Straamann]

Hvordan kan jeg forstå denne oppgaven:

9a^2 -30ab +25b^2

I henhold til formelen x^2 + bx + c så er er jo c ukjent. Og hva betyr 30ab? Tilsvarer ab = x i formelen?

(NB: er på første kapittel algebra i TI, så jeg kan ikke viderekomne teknikker. )

[Aleks855]

Hint:

$9a^2 - 30ab + 25b^2 = (3a)^2 - 2(3a)(5b) + (5b)^2$

Hvis vi innfører $m = 3a$ og $n = 5b$ så har vi $m^2 + 2mn + n^2$. Kanskje du kjenner igjen uttrykket?

[Straamann]

Aha, betyr det av vi kan løse oppgaven så enkelt:

[Aleks855]

Utmerket! Og du klarte å se forbi skrivefeilen min også.

[Straamann]

Prøvde meg på å finne b i uttrykket 4y^2 + 2by + 9.

Jeg blander litt formlene a^2 + 2ab + b^2 og x^2 + bx + c. I den ene formelen blir b =3, i den andre formelen blir b = 2*3 =6.
og så var det dette med pluss eller minus også. Man vet i dette tilfellet ikke om b er positiv eller negativ.

Noen kommentarer til utregning under?

[Aleks855]

Ok, du har funnet at du kan skrive $4y^2 + 2by + 9$ som $\color{red}{(2y)}^2 + 2by + \color{red}{3}^2$. Da har vi $2y$ og $3$ gjenkjent som det som skal kvadreres.

Hvis vi ser på $(2y + 3)^2$ så ser vi at dette blir $\color{red}{(2y)}^2 + \underbrace{2\cdot2y \cdot3}_{2by} + \color{red}{3}^2$

Altså må vi løse $2\cdot2y \cdot3 = 2by$ for $b$.

[Gjest]

Nei jeg skjønte det ikke likevel!

For å forkorte den siste brøken, må du jo faktorisere. Da setter vi 2 utenfor de to parentesen og forkorter mot 4 i nevneren (2*2).
Men det er vel ikke lov, siden det fremdeles er to ledd i teller?

Det ser ut til at du virkelig har gravd deg ned i dette temaet . Jeg klarte visst å skrive +y ja, men metoden er den samme. Svaret bytter bare om fortegnet i parentesene.

Angående faktoriseringen min så er det ikke to ledd, men to faktorer som står i teller. Ledd skilles av + og - . Dessuten er det fullt mulig å faktorisere når det står ledd i teller så lenge du deler alle ledd med det samme som du deler nevner med.
Eksempel:
$\frac{6+10}{4} = \frac{3+5}{2}$. Du deler både 6 og 10 på 2. Grunnen til at du lov til å gjøre dette er fordi du kan faktorisere ut 2 tallet. $\frac{6+10}{4} = \frac{2(3+5)}{2\cdot 2} = \frac{3+5}{2}$. Legg merke til at $2(3+5)$ er et ledd med to faktorer $2$ og $(3+5)$.
Når det gjelder det du faktisk lurte på som var min faktorisering:
$\dfrac{(2y-12)(2y+14)}{4} = \dfrac{2(y-6)2(y+7)}{4} = \dfrac{4(y-6)(y+7)}{4} = (y-6)(y+7)$