Tangering av sirkel og x-akse

[goobigofs]

Heisann!

Jeg jobber med R1 eksamen høst 2012, hvor en av oppgavene på del 2 er slik:

Vi er gitt en sirkel [tex]x^{2}+2tx+y^{2}-4y+9=0[/tex]

Oppgaven ber oss finne t slik at sirkelen har akkurat et punkt felles med x-aksen. LF går frem slik:

Tangering med x-aksen [tex]\Rightarrow y = 0[/tex]

[tex]x^{2}+2tx+0^{2}-4*0+9 = 0 \Rightarrow x^{2}+2tx+9=0[/tex]

Videre brukes ABC formelen:

[tex]\frac{-2t\pm \sqrt{2t^{2}-4*1*9}}{2*1}\Rightarrow \frac{-2t\pm \sqrt{4t^{2}-36}}{2}[/tex]

Men, så kommer det jeg er usikker på.

Fasiten går frem slik:

Screen Shot 2017-10-30 at 11.08.39.png (25.44 kiB) Vist 1629 ganger

De setter mao det under rottegnet lik null, hvorfor? Vi kommer jo ikke videre med ABC formelen, og den løser uansett med hensyn på x - men jeg klarer ikke helt å forstå hvorfor vi setter rottegnet lik null. Altså, vi har jo en "t" utenfor rottegnet også, hva med den?

Kunne noen forklart hvorfor?

På forhånd takk!
Erik

[Gjest]

Oppgaven spør om akkurat ett punkt. ABC formelen gir vanligvis to løsninger fordi du har $\pm$ roten av et eller annet.
Dersom roten derimot er 0 får du $\pm$ 0 som gjør at du bare har ett svar.

Se her (tilfeldig valgte tall):
$\frac{-3\pm \sqrt{9}}{2} \Rightarrow x=0 \vee x=-3$
$\frac{-3 \pm \sqrt{0}}{2} \Leftrightarrow x=-1.5$ Kun en løsning.

Skjønte du det nå eller er det fortsatt uklart?

[goobigofs]

Oppgaven spør om akkurat ett punkt. ABC formelen gir vanligvis to løsninger fordi du har $\pm$ roten av et eller annet.
Dersom roten derimot er 0 får du $\pm$ 0 som gjør at du bare har ett svar.

Se her (tilfeldig valgte tall):
$\frac{-3\pm \sqrt{9}}{2} \Rightarrow x=0 \vee x=-3$
$\frac{-3 \pm \sqrt{0}}{2} \Leftrightarrow x=-1.5$ Kun en løsning.

Skjønte du det nå eller er det fortsatt uklart?

Det at vi kun får en løsning når vi setter det under rottegnet lik null, er veldig greit.

Slik jeg forestiller meg det:

Vi har en sirkel [tex]x^{2}+2tx+y^{2}-4y+9=0[/tex]

Denne flyter rundt i koordinatsystemet vårt, etter de koordinatene vi gir den.

For å få kun ett punkt felles med x-aksen, må enten sirkelen tangere x-aksen nedenfra, eller ovenfra. Fasiten setter [tex]y=0[/tex] for dette. Hvorfor det? Altså hvis vi setter y=0, hvor y er sentrum i sirkelen, vil jo sirkelen få 2 punkter felles med x-aksen?

Videre løser vi den ved å få 0 under rottegnet. Gitt at det ovenfor er riktig, kan vi da se på dette som å "tvinge" ABC formelen til å gi oss kun en løsning? Jeg kan ikke helt se for meg hvordan dette er mulig, siden t-verdien kun påvirker x-koordinaten til sirkelen, og for å tangere x-aksen blir vi nødt til å enten flytte sirkelen opp eller ned.

[Gjest]

Ja, dette har du helt rett i at er litt rart. Jeg fanget ikke den da jeg trodde du spurte om noe annet.
I løsningsforslaget som ligger ute på denne nettsiden står det derimot at y=r som burde stemme bedre.
http://matematikk.net/side/R1_2012_h%C3 ... C3%98SNING

Men så er spørsmålet: hvorfor har de ikke tatt med y=-r? (se på uttrykket for radiusen)

Hvor har du fått ditt løsningsforslag?

[goobigofs]

Ja, dette har du helt rett i at er litt rart. Jeg fanget ikke den da jeg trodde du spurte om noe annet.
I løsningsforslaget som ligger ute på denne nettsiden står det derimot at y=r som burde stemme bedre.
http://matematikk.net/side/R1_2012_h%C3 ... C3%98SNING

Men så er spørsmålet: hvorfor har de ikke tatt med y=-r? (se på uttrykket for radiusen)

Hvor har du fått ditt løsningsforslag?

Nettopp, løsningsforslaget jeg brukte var et alternativt fra NDLA siden det vært litt bedre formatert og oversiktlig:

https://ndla.no/sites/default/files/r1_ ... osning.pdf

Altså, uttrykket til høyre for likhetstegnet er jo lik [tex]r^{2}[/tex], så om du har [tex](-r)^{2}[/tex] eller [tex]r^{2}[/tex] blir det vel det samme?

[tex]r^{2} = t^{2} - 5[/tex]

Jeg tygger fortsatt litt på den, så godt mulig jeg tenker feil.

Så, y-koordinaten til sirkelen er 2. Vi har da:

[tex]r = \pm 2 \Leftrightarrow r^{2} = 4 \Leftrightarrow 4 = t^{2} - 5[/tex]

Vi løser med hensyn på t, og får [tex]t = \pm 3[/tex]