Dette er en oppgave fra Abelkonkurransen runde 1 2007/08. Jeg føler at min fremgangsmåte er noe tungvindt.
Det oppgaven spør om er jo egentlig $a_{2007} \equiv x \enspace (\text{mod } 10)$.
Tenker videre at det må være et eller annet mønster i følgen - en syklus der det siste tallet repeteres.
Hvis for eksempel syklusen hadde hatt en lengde på $4$, måtte det siste sifferet i $a_{2007}$ være gitt ved det siste sifferet i det tredje elementet i syklusen, fordi $2007 \equiv 3 \enspace (\text{mod } 4$.
Videre er det vel bare å se om det er mønster å finne:
$a_1 = 1$
$a_2 = 2$
$a_3 \equiv 2 \enspace (\text{mod } 10)$
$a_4 \equiv 4 \enspace (\text{mod } 10)$
$a_5 \equiv 8 \enspace (\text{mod } 10)$
$a_6 \equiv 2 \enspace (\text{mod } 10)$
$a_7 \equiv 6 \enspace (\text{mod } 10)$
$a_8 \equiv 2 \enspace (\text{mod } 10)$
$a_9 \equiv 2 \enspace (\text{mod } 10)$
$a_{10} \equiv 4 \enspace (\text{mod } 10)$
$a_{11} \equiv 8 \enspace (\text{mod } 10)$
$a_{12} \equiv 2 \enspace (\text{mod } 10)$
$a_{13} \equiv 6 \enspace (\text{mod } 10)$
Og der ser det ut som at det begynner å repetere seg gitt. Det ser ut som de siste siffrene har et mønster med en lengde på 6: $2,2,4,8,2,6$.
Siden det første leddet i følgen er $1$, er det ikke en del av mønsteret. Da må vi altså finne $2006 \equiv x \enspace (\text{mod }6)$, og det er lett å se at $2006 \equiv 2 \enspace (\text{mod } 6)$, og da må altså det siste sifferet i $a_{2013}$ være $2$ fordi det er det andre leddet i syklusen til følgen.
Føler at denne måten er tungvindt, og jeg vet ikke om man har tid til å finne et mønster, samt verifisere det (ved å se at det repeterer seg), når man skal løse 19 andre oppgaver på 100 minutter. Noen som har noen andre forslag til fremgangsmåter?
