Gitt a + b + c = 1 hvor a , b og c > 0
Finn den minste verdien til 2a[tex]^{2}[/tex] + 3b[tex]^{2}[/tex] + 5c[tex]^{2}[/tex]
Cauchy-Schwarz-ulikhet
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Kan ikke Cauchy-Schwarz enda, men løste den med Lagranges multiplikatormetode. 
Har funksjonene [tex]f(a,b,c)=2a^2+3b^2+5c^2[/tex] og [tex]g(a,b,c)=a+b+c-1=0[/tex] og at [tex]a,b,c>0[/tex].
Funksjonskurvene tangerer hverandre i minimumspunktet, som betyr at gradientene deres er parallelle: [tex]\nabla f=\lambda \nabla g[/tex]. Deriverer med hensyn på de ulike variablene og setter komponentene lik hverandre for å få et ligningssystem på fire ligninger og fire ukjente:
[tex]4a=\lambda[/tex]
[tex]6b=\lambda[/tex]
[tex]10c=\lambda[/tex]
[tex]a+b+c-1=0[/tex]
Løser ligningssystemet ved å dele første ligning på 4, andre på 6, tredje på 10, og trekker de fra den siste for å finne [tex]\lambda[/tex] og så minimumspunktet [tex](a,b,c)[/tex] for [tex]f[/tex].
[tex]-1=-({1\over 4}+{1\over 6}+{1\over 10})\lambda[/tex] gir [tex]\lambda={60\over 31}[/tex] og punktet [tex](a,b,c)=({15\over 31},{10\over 31},{6\over 31})[/tex].
Minimumsverdien er dermed [tex]f({15\over 31},{10\over 31},{6\over 31})={2(15)^2+3(10)^2+5(6)^2\over 31^2}={30\over 31}[/tex].
Forklaringen er neppe forståelig om man ikke kan metoden fra før, og muligens ikke vanntett uansett. Lærte akkurat metoden fra https://video.adm.ntnu.no/pres/501fbcb61ce6d . Problemet ble kanskje for trivielt med denne metoden, men så ligger det jo på videregående-forumet. Synes det var gøy å endelig få brukt den hvertfall (prøvde å lære den for lenge siden), så takk for det.
Har funksjonene [tex]f(a,b,c)=2a^2+3b^2+5c^2[/tex] og [tex]g(a,b,c)=a+b+c-1=0[/tex] og at [tex]a,b,c>0[/tex].
Funksjonskurvene tangerer hverandre i minimumspunktet, som betyr at gradientene deres er parallelle: [tex]\nabla f=\lambda \nabla g[/tex]. Deriverer med hensyn på de ulike variablene og setter komponentene lik hverandre for å få et ligningssystem på fire ligninger og fire ukjente:
[tex]4a=\lambda[/tex]
[tex]6b=\lambda[/tex]
[tex]10c=\lambda[/tex]
[tex]a+b+c-1=0[/tex]
Løser ligningssystemet ved å dele første ligning på 4, andre på 6, tredje på 10, og trekker de fra den siste for å finne [tex]\lambda[/tex] og så minimumspunktet [tex](a,b,c)[/tex] for [tex]f[/tex].
[tex]-1=-({1\over 4}+{1\over 6}+{1\over 10})\lambda[/tex] gir [tex]\lambda={60\over 31}[/tex] og punktet [tex](a,b,c)=({15\over 31},{10\over 31},{6\over 31})[/tex].
Minimumsverdien er dermed [tex]f({15\over 31},{10\over 31},{6\over 31})={2(15)^2+3(10)^2+5(6)^2\over 31^2}={30\over 31}[/tex].
Forklaringen er neppe forståelig om man ikke kan metoden fra før, og muligens ikke vanntett uansett. Lærte akkurat metoden fra https://video.adm.ntnu.no/pres/501fbcb61ce6d . Problemet ble kanskje for trivielt med denne metoden, men så ligger det jo på videregående-forumet. Synes det var gøy å endelig få brukt den hvertfall (prøvde å lære den for lenge siden), så takk for det.
-
OYV
Imponerende ! Lagranges multiplikatormetode er helt ukjent for meg , men jeg kan bekrefte at den fører
frem til samme resultat ( [tex]\frac{30}{31}[/tex] ) som Cauchy-Schwarz-ulikheten. I tillegg får
vi presentert talltrippelet {a , b , c } = {[tex]\frac{15}{31}[/tex], [tex]\frac{10}{31}[/tex] , [tex]\frac{6}{31}[/tex] } som gir f(a , b , c )[tex]_{min}[/tex] =[tex]\frac{30}{31}[/tex]. C-S-ulikheten underslår denne infoen.
frem til samme resultat ( [tex]\frac{30}{31}[/tex] ) som Cauchy-Schwarz-ulikheten. I tillegg får
vi presentert talltrippelet {a , b , c } = {[tex]\frac{15}{31}[/tex], [tex]\frac{10}{31}[/tex] , [tex]\frac{6}{31}[/tex] } som gir f(a , b , c )[tex]_{min}[/tex] =[tex]\frac{30}{31}[/tex]. C-S-ulikheten underslår denne infoen.
Cauchy-Schwarz gir atOYV skrev:Gitt a + b + c = 1 hvor a , b og c > 0
Finn den minste verdien til 2a[tex]^{2}[/tex] + 3b[tex]^{2}[/tex] + 5c[tex]^{2}[/tex]
$((\frac{1}{\sqrt{2}})^2+(\frac{1}{\sqrt{3}})^2+(\frac{1}{\sqrt{5}})^2)((\sqrt{2}a)^2+(\sqrt{3}b)^2+(\sqrt{5}c)^2)\geq (a+b+c)^2=1$,
ekvivalent med $2a^2+3b^2+5c^2\geq \frac{30}{31}$