matematikk.net

Jeg har ikke fasit på oppgavene, så jeg lurte på om noen kan si om jeg har gjort det riktig:

2sin[tex]2sin^{2}x+cosx=1, x[0,2pi] Her fikk jeg at svaret var x=pi, x=pi/3 og x=5pi/3 sin(3x)=cos(3x), x[0,pi][/tex]
Her fikk jeg at svaret var x=pi/12, x=5pi/12 og x=9pi/12

Ser at det ble tull med teksten
Oppgava var: 2sin^2(x)+cos(x)=1, x[0,2pi>

Her fikk jeg svaret: x=pi, x=pi/3 og x=5pi/3

Den andre oppgava var: sin(3x) = cos(3x), x[0,pi>

harprøvesnart skrev:Ser at det ble tull med teksten
Oppgava var: 2sin^2(x)+cos(x)=1, x[0,2pi>

Her fikk jeg svaret: x=pi, x=pi/3 og x=5pi/3

Den andre oppgava var: sin(3x) = cos(3x), x[0,pi>

Første oppgave: $$2\sin ^2 x + \cos x = 1$$ $$2\left(1 - \cos^2 x\right) + \cos x = 1$$ $$-2\cos^2 x + \cos x = -1$$ $$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$$ $$\left(2\cos +1 \right)\left(\cos x - 1\right) = 0$$ $$\cos x = -\frac12\text{ eller }\cos x = 1.$$ Fra enhetssirkelen får vi løsningene $$x = 0,\text{ }x=\frac{2\pi}{3},\text{ }x=\frac{4\pi}{3}.$$

Annen oppgave: $$\sin (3x) = \cos (3x)$$ $$\cos (3x) - \sin (3x) = 0$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos (3x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin (3x) = 0$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(3x\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(3x\right) = 0$$ $$\cos\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$$ $$3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n,\text{ der }n\in\mathbb{Z}\text{ slik at }x \in [0,\pi)$$ $$x = \frac{\pi}{3}\left(n + \frac12 - \frac14\right) = \frac{\pi}{3}\left(n + \frac14\right).$$ Vi ser at $n=0, n=1, n=2$ gir løsningene innenfor definisjonsmengden, så vi får løsningene $$x = \frac{\pi}{12},\text{ }x=\frac{5\pi}{12},\text{ }x = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4}.$$

EDIT: Fortegnsfeil

Ligningen
sin( 3x ) = cos( 3x ) , cos(3x) [tex]\neq[/tex]0

er ekvivalent med at

tan( 3x ) = 1 som er ekvivalent med at

3x = [tex]\frac{\pi }{4}[/tex] + k [tex]\cdot[/tex][tex]\pi[/tex]

som er ekvivalent med at

x = [tex]\frac{\pi }{12}[/tex] + k[tex]\cdot[/tex][tex]\frac{\pi }{3}[/tex] (allmenn løysing )