matematikk.net

La n være et oddetall og n > 3
Bevis at n^2 - 1 er delelig med 8.

Jeg er usikker hvordan jeg utfører denne oppgaven og jeg lurte på om det var noen som kan dette.
Jeg vet jeg skal begynne med å la n være et oddetall: n= 2k+1 men mer vet jeg ikke

La $n=2k+1$, da er

$n^2-1 = (2k+1)^2-1 = (4k^2 + 4k + 1) -1 = 4k^2+4k = 4k(k-1)$

Observer at $(k-1)$ og $k$ er to etterfølgende tall, altså hvis f.eks $k=4$, hadde $k-1=3$. Siden tallene veksler mellom å være oddetall og partall for annenhvert tall, vi altså alltid $(k-1)$ eller $k$ være et partall. I alle partall er $2$ en faktor, og siden $4$ allerede er en faktor i uttrykket, vil da $4 \cdot 2 = 8$ alltid være en faktor. Derfor vil uttrykket alltid være delelelig på $8$.

Forresten, så må ikke $n>3$, for $3^2-1=8$, som selvfølgelig er delelig på $8$.

Markus skrev:La $n=2k+1$, da er

$n^2-1 = (2k+1)^2-1 = (4k^2 + 4k + 1) -1 = 4k^2+4k = 4k(k-1)$

Observer at $(k-1)$ og $k$ er to etterfølgende tall, altså hvis f.eks $k=4$, hadde $k-1=3$. Siden tallene veksler mellom å være oddetall og partall for annenhvert tall, vi altså alltid $(k-1)$ eller $k$ være et partall. I alle partall er $2$ en faktor, og siden $4$ allerede er en faktor i uttrykket, vil da $4 \cdot 2 = 8$ alltid være en faktor. Derfor vil uttrykket alltid være delelelig på $8$.

Forresten, så må ikke $n>3$, for $3^2-1=8$, som selvfølgelig er delelig på $8$.

Tusen takk for hjelpen!