Vi begynner å dyrke en bakteriekultur. La y være tallet på bakterier etter t timer. Vi antar at vekstfarten til y til enhver tid er proporsjonal med tallet på bakterier.
Forklar at y er en løsning av differensiallikningen y'=ky der k er en konstant.
Hvordan skal jeg forklare det?
differensiallikninger
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Det å være proporsjonal med noe, betyr at det er en eller annen konstant multiplisert med det.Vekstfarten til y er proporsjonal med tallet på bakterier
Altså, hvis vi sier at $a$ er proporsjonal med $b$, så betyr det at det finnes en konstant $k$ slik at $a = k\cdot b$.
Vi kan da tolke hver del av setninga for seg.
$y'$mattenøtta skrev:vekstfarten til y
$=$er
$k \cdot \ldots$proporsjonal med
$y$tallet på bakterier
$y' = k\cdot y$Vekstfarten til y er proporsjonal med tallet på bakterier
-
- Cantor
- Innlegg: 126
- Registrert: 14/08-2017 15:15
ok, takk!
Jeg har også problemer med denne oppgava:
i utopistan er det i dag 9 millioner innbyggere. folketallet er på ethvert tidspunkt i ferd med å øke 5% av folketallet per år. så blir landet rammet av en epidemi. myndighetene regner med at om t år vil tallet på døde av epidemien være 0,06*t millioner per år.
N'(t) - 0,05N(t) =-0,06t
Løs denne differensiallikningen og vis at folketallet i millioner om t år er gitt ved: N(t) = 1,2t + 24 - 15e^(0,05t)
Jeg har også problemer med denne oppgava:
i utopistan er det i dag 9 millioner innbyggere. folketallet er på ethvert tidspunkt i ferd med å øke 5% av folketallet per år. så blir landet rammet av en epidemi. myndighetene regner med at om t år vil tallet på døde av epidemien være 0,06*t millioner per år.
N'(t) - 0,05N(t) =-0,06t
Løs denne differensiallikningen og vis at folketallet i millioner om t år er gitt ved: N(t) = 1,2t + 24 - 15e^(0,05t)
-
- Cantor
- Innlegg: 126
- Registrert: 14/08-2017 15:15
Her får jeg: y=0,6t + 9t*e^(0,05t), men det er jo så klart feil
-
- Lagrange
- Innlegg: 1258
- Registrert: 23/04-2015 23:19
$N'(t) - 0,05N(t) =-0,06t \\
y' - 0.05y = - 0.06t \\
(ye^{-0.05t})' = -0.06te^{-0.05t} \\
y = -0.06e^{0.05t}\int te^{-0.05t} dt$
Delvis integrasjon $f = t (f' = 1), g' = e^{-0.05t} (g = -\frac{e^{-0.05t}}{0.05})$
$fg' =fg - \int f'g$
$te^{-0.05t} = -\frac{te^{0.05t}}{0.05} - \int -\frac {e^{0.05t}}{0.05}dt =-\frac{te^{0.05t}}{0.05} - \frac {e^{0.05t}}{0.05^2} - C \\
y = -0.06e^{0.05t}(-\frac{te^{-0.05t}}{0.05} - \frac {e^{0.05t}}{0.05^2} - C) \\
y = 1.2t + 24 + Ce^{0.05t}$
Du har betingelsen y(0) = 9, altså
9 - 24 = C, ergo C = -15.
Du får da løsningen
$N(t) = 1.2t + 24 - 15e^{0.05}$
y' - 0.05y = - 0.06t \\
(ye^{-0.05t})' = -0.06te^{-0.05t} \\
y = -0.06e^{0.05t}\int te^{-0.05t} dt$
Delvis integrasjon $f = t (f' = 1), g' = e^{-0.05t} (g = -\frac{e^{-0.05t}}{0.05})$
$fg' =fg - \int f'g$
$te^{-0.05t} = -\frac{te^{0.05t}}{0.05} - \int -\frac {e^{0.05t}}{0.05}dt =-\frac{te^{0.05t}}{0.05} - \frac {e^{0.05t}}{0.05^2} - C \\
y = -0.06e^{0.05t}(-\frac{te^{-0.05t}}{0.05} - \frac {e^{0.05t}}{0.05^2} - C) \\
y = 1.2t + 24 + Ce^{0.05t}$
Du har betingelsen y(0) = 9, altså
9 - 24 = C, ergo C = -15.
Du får da løsningen
$N(t) = 1.2t + 24 - 15e^{0.05}$
Hvordan finner man når folketallet er 10millioner?Fysikkmann97 skrev:$N'(t) - 0,05N(t) =-0,06t \\
y' - 0.05y = - 0.06t \\
(ye^{-0.05t})' = -0.06te^{-0.05t} \\
y = -0.06e^{0.05t}\int te^{-0.05t} dt$
Delvis integrasjon $f = t (f' = 1), g' = e^{-0.05t} (g = -\frac{e^{-0.05t}}{0.05})$
$fg' =fg - \int f'g$
$te^{-0.05t} = -\frac{te^{0.05t}}{0.05} - \int -\frac {e^{0.05t}}{0.05}dt =-\frac{te^{0.05t}}{0.05} - \frac {e^{0.05t}}{0.05^2} - C \\
y = -0.06e^{0.05t}(-\frac{te^{-0.05t}}{0.05} - \frac {e^{0.05t}}{0.05^2} - C) \\
y = 1.2t + 24 + Ce^{0.05t}$
Du har betingelsen y(0) = 9, altså
9 - 24 = C, ergo C = -15.
Du får da løsningen
$N(t) = 1.2t + 24 - 15e^{0.05}$
Ja, men etter litt omstokking får jeg e^(0,05*t)=(14/15) + 0,08*tErikAndre skrev:Du løser ligningen [tex]N(t) = 10[/tex] for [tex]t[/tex].
Hvordan skal man få t alene?