Hei, har prøvd å forstå dette en stund, men det går ikke helt inn. Trenger hjelp med disse oppgavene og gjerne en grunding forklaring på hvordan man går frem for å løse slike oppgaver.
a) [symbol:integral] 3sin^2 2t cos2t dt
b) [symbol:integral] tanx dx Det står at u her er cos x, hva nå enn det betyr
c) [symbol:integral] lnx/x
integrasjon ved substitusjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Her er det nok meningen at du skal bruke substitusjon av typen u = f(x) (i oppgave b har du fått oppgitt at substitusjonen er [tex]u = \cos x[/tex]).
a) Her velger du [tex]u = \sin2x[/tex]. Da blir[tex]du/dx = 2\cos2x[/tex], i.e. [tex]dx = \frac{du}{2\cos2x}[/tex]. Dette innebærer at
[tex]\int 3\,\sin^2 2x \: \cos 2x \, dx[/tex]
[tex]= \; \int 3u^2 \: \cos 2x \: \frac{du}{2\cos 2x}[/tex]
[tex]=\; \int \frac{3u^2}{2} \, du [/tex]
[tex]=\; \frac{u^3}{2} \:+\: C_1 [/tex]
[tex]=\; \frac{\sin^3 2x}{2} \:+\: C_1[/tex]
der [tex]C_1[/tex] er en vilkårlig konstant.
b) Her er [tex]u = \cos x[/tex], så [tex]du/dx = -\sin x[/tex], i.e. [tex]dx \:=\: - \, \frac{du}{\sin x}.[/tex] Dermed får vi at
[tex]\int \tan x dx \,=\; \int - \, \frac{\sin x}{\cos x} \, \frac{du}{\sin x} \;=\; - \int \frac{du}{\cos x} \;=\; -\int \frac{du}{u} \;=\; - \ln|u| \:+\: C_2 \;=\; - \, \ln|\cos x| \:+\: C_2[/tex]
der [tex]C_2[/tex] er en vilkårlig konstant.
c) Substitusjonen [tex]u = \ln x[/tex] gir [tex]du/dx = 1/x[/tex], i.e. [tex]dx = x \, du. [/tex] Dermed blir
[tex]\int \frac{\ln x}{x} \;=\; \int \frac{u}{x} \, x \, du \;=\; \int u \, du \;=\; \frac{u^2}{2} \:+\: C_3 \;=\; \frac{(\ln x)^2}{2} \:+\: C_3[/tex]
der [tex]C_3[/tex] er en vilkårlig konstant.
a) Her velger du [tex]u = \sin2x[/tex]. Da blir[tex]du/dx = 2\cos2x[/tex], i.e. [tex]dx = \frac{du}{2\cos2x}[/tex]. Dette innebærer at
[tex]\int 3\,\sin^2 2x \: \cos 2x \, dx[/tex]
[tex]= \; \int 3u^2 \: \cos 2x \: \frac{du}{2\cos 2x}[/tex]
[tex]=\; \int \frac{3u^2}{2} \, du [/tex]
[tex]=\; \frac{u^3}{2} \:+\: C_1 [/tex]
[tex]=\; \frac{\sin^3 2x}{2} \:+\: C_1[/tex]
der [tex]C_1[/tex] er en vilkårlig konstant.
b) Her er [tex]u = \cos x[/tex], så [tex]du/dx = -\sin x[/tex], i.e. [tex]dx \:=\: - \, \frac{du}{\sin x}.[/tex] Dermed får vi at
[tex]\int \tan x dx \,=\; \int - \, \frac{\sin x}{\cos x} \, \frac{du}{\sin x} \;=\; - \int \frac{du}{\cos x} \;=\; -\int \frac{du}{u} \;=\; - \ln|u| \:+\: C_2 \;=\; - \, \ln|\cos x| \:+\: C_2[/tex]
der [tex]C_2[/tex] er en vilkårlig konstant.
c) Substitusjonen [tex]u = \ln x[/tex] gir [tex]du/dx = 1/x[/tex], i.e. [tex]dx = x \, du. [/tex] Dermed blir
[tex]\int \frac{\ln x}{x} \;=\; \int \frac{u}{x} \, x \, du \;=\; \int u \, du \;=\; \frac{u^2}{2} \:+\: C_3 \;=\; \frac{(\ln x)^2}{2} \:+\: C_3[/tex]
der [tex]C_3[/tex] er en vilkårlig konstant.