Tre oppgaver

[rosin]

1) Per arbeider hver åttende ettermiddag, og Kari arbeider hver sjette ettermiddag. En ettermiddag er begge på jobben. Hvor mange dager går det før begge igjen arbeider samme dag?

2) Tallene 1, 2, 4, 7 og 14 er de hele tallene som er mindre enn 28 og går opp i 28. Det vil si at 28 er delelig med disse tallene. Men vi har også at
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
Det vil si at 28 er et tall som er lik summen av alle tallene mindre enn 28 som går opp i 28. Dette er et perfekt tall.

Vis at 496 er et perfekt tall.

3) Noen gode venner var ute på restaurant. Hver av dem bestilte nøyaktig det samme, og regningen for hver enkelt av dem var et helt tall. Den samlede regningen kom på kr 4913. Hvor mange venner var det i selskapet?

---

Håper noen har forslag, sliter litt her

[Caroline90]

3) 13 stk var i selskapet. 4913/13=351

[Magnus]

b)

[tex]496 = 2*248 = 2*2*124 = 2*2*2*62 = 2*2*2*2*31[/tex]

Her ser vi at de tallene som er mindre som går opp er:

[tex]2*2*2*2*31, 2*2*2*31, 2*2*31, 2*31, 31, 2*2*2*2, 2*2*2, 2*2, 2, 1[/tex]

[tex]1+ 2 + 4+8+16+31+62+124+248 = 496[/tex]

Resten kan jeg ta senere, litt opptatt.

[Caroline90]

1) Tror svaret er 24

[rosin]

3) 13 stk var i selskapet. 4913/13=351

Det går jo ikke? 4913/13=377,923........

--

1) Tror svaret er 24

Utregning?

--

Takk!

[sEirik]

1) Problemet kan løses ved å finne minste fellesfaktor mellom 8 og 6.

Vi bruker Euklids algoritme:
8
6
2
0

Vi får at gcd(8,6) = 2:

Da får vi at lcd(8,6) = [tex]\frac{8 \cdot 6}{2} = 24[/tex]

Altså vil de igjen møtes etter 24 dager.

3) 4913 kan faktoriseres: [tex]4913 = 289 \cdot 17[/tex]
Det betyr at det kan være enten 17 gjester i selskapet, der hver betaler 289 kroner, eller 289 gjester, der hver betaler 17 kroner. Sistnevnte er lite trolig, og da er riktig svar 17 personer i selskapet.

[rosin]

sEirik: Prøvde du deg bare frem på oppgave 3? Eller er det en metode?

Takk!

[sEirik]

Alle naturlige tall er enten primtall eller kompositt, er de kompositt så kan de faktoriseres eller deles opp i primtall, f.eks. kan 8 deles opp i 2 * 2 * 2.

Skal du faktorisere et tall n, må du prøve og feile, dvs prøve å dele det på alle primtall under [tex]sqrt n[/tex].

Skal du faktorisere 2100 for hånd, må du sette opp sånn:
(På venstresiden skriver du hva du sitter igjen med etter sist deling.)

2100 | 2 // Vi prøver å dele på 2, det går opp
1050 | 2 // Vi prøver å dele på 2 igjen
525 | 3 // Vi deler på 3
175 | 5 // Vi deler på 5
35 | 5
7 | 7
1

Når vi sitter igjen med 1, er vi ferdige.
Altså er faktoriseringen av 2100 lik produktet av høyresiden av oppsettet:

[tex]2100 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7[/tex]

[Caroline90]

3) 13 stk var i selskapet. 4913/13=351

Det går jo ikke? 4913/13=377,923........

--

1) Tror svaret er 24

Utregning?

--

Takk!

Sorry, skrev feil! Riktig svar er 17. Jeg fant det ved at jeg prøvde meg fram.

[Sisyphos]

4913

Vi antar mer enn en gjest i selskapet; hvis ikke ville denne ene gjesten betalt hele beløpet. Hvis vi forutsetter fler enn en, og alle skal betale en heltallig sum, må beløpet kunne faktoriseres. Vi kan dermed prøve oss frem vha primtallsfaktorisering.

Et lite poeng først: Ta kvadratroten til beløpet [symbol:rot] 4913= 70,1. Da trenger du bare sjekke primtallene opp til 67 for å finne løsningen.
2, 3, 5 er ikke aktuelle pga hhv oddetall, tverrsum, 5-0-regelen osv.
Prøv deg videre frem - finner tilslutt 17. Et interessant poeng er her at 4913 = 17[sup]3[/sup], noe som utelukker andre løsninger enn de nevnt over (17 gjester à 289 kr, eller omvendt).

[rosin]

Tusen takk !

Er det noen som vil prøve seg på oppgave 2)? Hvordan bevise at 496 er et perfekt tall? =S

[Magnus]

Tusen takk !

Er det noen som vil prøve seg på oppgave 2)? Hvordan bevise at 496 er et perfekt tall? =S

Jeg har vel mildt sagt allerede gjort det, hvis du ser oppover.

[rosin]

Oi, ja det er sant, Candela! :O Så bra! Takk igjen =P