Likning med e^x

[krivol]

Trenger hjelp til å løse disse likningene:

a) 6e^-x = e^x - 1



b) 1/(e^x - e^-x) = 2

Takk!

[sEirik]

Skal vi se.

a) [tex]6e^{-x} = e^x - 1[/tex]

Flytter alt over til venstresiden:

[tex]6e^{-x} - e^x + 1 = 0[/tex]

Multipliserer med [tex]e^x[/tex]

[tex]6(e^{-x} \cdot e^x) - (e^x)^2 + e^x = 0[/tex]

[tex]6 - (e^x)^2 + e^x = 0[/tex]

[tex]-(e^x)^2 + e^x + 6 = 0[/tex]

Løs som en annengradslikning mhp. [tex]e^x[/tex]

[tex]e^x = \{-2, 3\}[/tex]

Vi vet at [tex]\forall x \in R: e^x > 0[/tex]
(Dette betyr på norsk at "for alle x som er reelle tall, må [tex]e^x[/tex] være større enn null.)

Dette medfører at [tex]e^x \not = -2[/tex]

Altså;

[tex]e^x = 3[/tex]

Vi tar ln på begge sider:

[tex]x = \ln 3[/tex]

b) [tex]\frac{1}{e^x - e^{-x}} = 2[/tex]

Vi ser at [tex]e^x - e^{-x} \not = 0[/tex], siden det ikke er lov å dele på 0.

Satser på å multiplisere med nevner.

[tex]1 = 2(e^x - e^{-x})[/tex]

Utvider parantesen.

[tex]1 = 2e^x - \frac{2}{e^x}[/tex]

Multipliserer med [tex]e^x[/tex]

[tex]e^x = 2(e^x)^2 - 2[/tex]

Flytter over til høyresiden og snur likningen:

[tex]2(e^x)^2 - e^x - 2 = 0[/tex]

Løses som andregradslikning mhp. [tex]e^x[/tex]
Vi ser at a = 2, b = -1, c = -2

[tex]e^x = \frac{1 \pm sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}[/tex]

[tex]e^x = \frac{1 \pm sqrt{17}}{4}[/tex]

Som sagt over: Vi vet at [tex]\forall x \in R: e^x > 0[/tex]

[tex]\frac{1 - sqrt{17}}{4} < 0 \rightarrow e^x \not = \frac{1 - sqrt{17}}{4} \rightarrow e^x = \frac{1 + sqrt{17}}{4}[/tex]

Tar ln på begge sider:

[tex]x = \ln (\frac{1 + sqrt{17}}{4})[/tex]

Dette gir

[tex]x \approx 0,247466...[/tex]

Tester grafisk for å se om jeg har fått rett svar, og det stemmer.

(Fant feil #1 ganske kjapt, den med multiplikasjon, feil #2 var sannsynligvis en tastefeil på kalkulatoren i siste steg.)

[Magnus]

b)

[tex]1 = 2(e^x - e^{-x})[/tex]

[tex]1 = 2*2*\sinh(x)[/tex]

[tex]\sinh(x) = \frac {1}{4}[/tex]

[tex]x = \sinh^{-1}\ (\frac {1}{4}) \approx 0.247[/tex]

[Magnus]

Oppgave a har du løst korrekt. Oppgave b har du gjort en feil ja.

[krivol]

Skal vi se.

a) [tex]6e^{-x} = e^x - 1[/tex]

Flytter alt over til venstresiden:

[tex]6e^{-x} - e^x + 1 = 0[/tex]

Multipliserer med [tex]e^x[/tex]

[tex]6(e^{-x} \cdot e^x) - (e^x)^2 + e^x = 0[/tex]



b) [tex]\frac{1}{e^x - e^{-x}} = 2[/tex]

Vi ser at [tex]e^x - e^(-x) \not 0[/tex], siden det ikke er lov å dele på 0.

Satser på å multiplisere med nevner.

[tex]1 = 2(e^x - e^{-x})[/tex]

Utvider parantesen.

[tex]1 = 2e^x - \frac{1}{e^x}[/tex]

Multipliserer med [tex]e^x[/tex]

[tex]e^x = 2(e^x)^2 - 1[/tex]

=

Takk for svar! Lurer på hvorfor man skal multiplisere med [tex]e^x[/tex] i disse to tifellene? Det er jo ikke en brøk vi skal bli kvitt.

[sEirik]

Holder fortsatt på med b), prøver å finne den dumme feilen.
Ang a); husk at [tex]e^{-x} = \frac{1}{e^x}[/tex]. Altså er det en brøk vi prøver å bli kvitt.

[sEirik]

[tex]1 = 2(e^x - e^{-x})[/tex]

[tex]1 = 2*2*\sinh(x)[/tex]

Denne overgangen skjønte jeg ikke. Kan du forklare? Utnytter du en eller annen identitet/egenskap?

[GQ]

b)

1/(e[sup]x[/sup] - e[sup]-x[/sup]) = 2
1 = 2e[sup]x[/sup] - 2e[sup]-x[/sup]
0 = 2e[sup]2x[/sup] - e[sup]x[/sup] - 2

Som gir den reelle løsningen e[sup]x[/sup] = (1+ [symbol:rot] 17)/4
x = ln e[sup]x[/sup] [symbol:tilnaermet] 0,247

[Janhaa]

[tex]1 = 2(e^x - e^{-x})[/tex]

[tex]1 = 2*2*\sinh(x)[/tex]

Denne overgangen skjønte jeg ikke. Kan du forklare? Utnytter du en eller annen identitet/egenskap?

Candela brukte definisjonen på sinh(x):

sinh(x) = [tex]1\over 2[/tex](e[sup]x[/sup] - e[sup]-x[/sup])

var vel det du spurte om...