Rekker

[géniex]

Hei!
Vil bare starte med å si at dette er en super matte side


Så over til oppg. Jeg har prøvd å løse denne oppg. men fått det motsatte av det fasiten. Oppg. lyder slik:

En larve starter å krype langs en svært tøyelig gummistrikk, som til å begynne med er 1m lang. Når larven har krøpet 1cm, er det noen som trekker i strikken slik at den blir 2m lang. Så kryper larven 1cm til, men igjen er det noen som forlenger strikken 1m. Hvis dette fortsetter, vil da larven noensinne nå den andre enden av strikken? (svar: ja)

[Solar Plexsus]

La [tex]a_n[/tex] være andelen av gummistrikken som larven har krøpet over når den har tilbakelagt [tex]n[/tex] cm oppå gummistrikken. Da er

[tex]a_1 \;=\; \frac{1}{100},[/tex]

[tex]a_2 \;=\; a_1 \:+\: \frac{1}{200},[/tex]

....

[tex]a_n \;=\; a_{n-1} \:+\: \frac{1}{100n}.[/tex]

Ved å summere disse [tex]n[/tex] identitetene, får vi

[tex]a_n \;=\; \frac{1}{100} \:+\: \frac{1}{200} \:+\: \ldots \:+\: \frac{1}{100n} \;=\; \frac{1}{100} \: \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\,.[/tex]

For at larven skal nå den andre siden av strikken, må [tex]a_n \geq 1[/tex] for et naturlig tall [tex]n[/tex]. Dette er sant i.o.m. at den uendelige rekken [tex]\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}[/tex] er divergent.

[daofeishi]

Kanskje greit å bevise at rekken er divergent og, siden dette for noen synes kontraintuitivt:

Anta følgende integral: [tex]\int _1 ^n \frac{1}{x} \ dx[/tex]
Siden [tex]\frac{1}{x}[/tex] er monotont synkende i [tex]\mathbb{R}^+ \backslash {0}[/tex], vet vi at:

[tex]\int _1 ^n \frac{1}{x} \ dx \ < \ \sum _{k = 1} ^n \frac{1}{k}[/tex]

Og dermed:
[tex]\lim _{n \rightarrow \infty} \int _1 ^n \frac{1}{x} \ dx \ < \ \lim _{n \rightarrow \infty} \sum _{k = 1} ^n \frac{1}{k}[/tex]

La oss evaluere grenseverdien av integralet:
[tex]\lim _{n \rightarrow \infty} \int _1 ^n \frac{1}{x} \ dx \ = \lim _{n \rightarrow \infty} [\ln x] _1 ^n = \lim _{n \rightarrow \infty} \ln n = \infty[/tex]

Og som vi tidligere viste er summen større enn integralet. Dermed har vi vist ved det jeg på fint har lært å kalle "the comparison test" at
[tex] \sum _{k = 1} ^{\infty} \frac{1}{k} = \infty[/tex], og dermed divergent.

[katten]

Hei!
Denne oppgaven er sikkert veldig lett, men jeg får den bare ikke til...

qBv=mv[sup]2[/sup]
r

Finn uttrykk for m (P.S. r skal være under brøkstrekk).

[sEirik]

[tex]qBv = \frac{mv^2}{r}[/tex]

Multipliser med r:

[tex]r \cdot qBv = mv^2[/tex]

Snu likningen:

[tex]mv^2 = r \cdot qBv[/tex]

Del på [tex]v^2[/tex]:

[tex]m = \frac{r \cdot qBv}{v^2}[/tex]