I en trekant ABC er vinkel A = 36,8, AC = 8 og BC = a. Bestem hvor mange trekanter som oppfyller kravene for ulike verdier av a > 0.
ER det noen som kan løse den for meg?
Oppgave 134 2MX Trigonometri
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
SE PÅ DENNE OPPGAVEN:
I trekant PQR er vinkel Q=60 grader , QR=4 , og PR=a.
For hvilke verdier av a er det 0 (altså ingen), 1 og 2 trekanter som svarer til beskrivelsen?
LIKNEnde oppgave:
----------------------------------------------------------------------------------
Jeg har løst oppgaven over. Se på løsningen min og sammenlign. Sett inn dine tall etc.
Har ikke tid nå, men kan evt prøve senere.
Med mindre du eller noen andre løser den:
1)
Kombiner sinussetningen og
cosinusset.
Sinusset:
(sin P)/ 4 =(sin60)/ a , så finner man ut at a er
funksjon av P, a(P):
a(P) = (2 √ 3 )/(sin p)
Videre kan a sine ulike verdier sjekkes med cosinussetningen mhp a:
PQ=r
a^2 = r^2 + 42 - 2*r*4*cos60
a^2 = r^2 + 16 - 4*r (I)
2)
Likning (I) over:
a2 = r2 - 4*r + 16 (I)
(i)
Studer lik. (I) og sett inn for a = 0:
a^2 = r^2 - 4*r + 16 = 0,
medfører ingen løsning på r og ingen trekant.
a=2: a^2 = 4: r^2 - 4*r + 12 = 0, ingen løsning på r og ingen trekant.
etc
(ii)
a= 2 √ 3 ≈ 3.46:
a^2 = 12: r^2 - 4*r + 4 = 0 , gir 1 løsning på r og dermed 1 trekant.
(iii)
For f. eks a = 3.6: a^2 ≈ 13: r^2 - 4*r + 3.04 = 0,
gir 2 løsninger og dermed 2 trekanter.
(iv)
a = 4: Settes inn i lik. (I):
r^2 - 4*r = 0,
gir en løsning, for r ≠ 0. r = 4. Og altså 1 trekant.
F. eks. a = 5: Lik. (I) gir: r^2 - 4*r - 9 = 0,
gir 2 løsninger på r. Men for r > 0 medfører dette 1 løsning og
1 trekant.
I dette eks. gis løsningene:
a < 3.46 : ingen trekant
a = 3,46 : 1 trekant
3.46 < a < 4 : 2 trekanter
a større eller lik 4: 1 trekant
I trekant PQR er vinkel Q=60 grader , QR=4 , og PR=a.
For hvilke verdier av a er det 0 (altså ingen), 1 og 2 trekanter som svarer til beskrivelsen?
LIKNEnde oppgave:
----------------------------------------------------------------------------------
Jeg har løst oppgaven over. Se på løsningen min og sammenlign. Sett inn dine tall etc.
Har ikke tid nå, men kan evt prøve senere.
Med mindre du eller noen andre løser den:
1)
Kombiner sinussetningen og
cosinusset.
Sinusset:
(sin P)/ 4 =(sin60)/ a , så finner man ut at a er
funksjon av P, a(P):
a(P) = (2 √ 3 )/(sin p)
Videre kan a sine ulike verdier sjekkes med cosinussetningen mhp a:
PQ=r
a^2 = r^2 + 42 - 2*r*4*cos60
a^2 = r^2 + 16 - 4*r (I)
2)
Likning (I) over:
a2 = r2 - 4*r + 16 (I)
(i)
Studer lik. (I) og sett inn for a = 0:
a^2 = r^2 - 4*r + 16 = 0,
medfører ingen løsning på r og ingen trekant.
a=2: a^2 = 4: r^2 - 4*r + 12 = 0, ingen løsning på r og ingen trekant.
etc
(ii)
a= 2 √ 3 ≈ 3.46:
a^2 = 12: r^2 - 4*r + 4 = 0 , gir 1 løsning på r og dermed 1 trekant.
(iii)
For f. eks a = 3.6: a^2 ≈ 13: r^2 - 4*r + 3.04 = 0,
gir 2 løsninger og dermed 2 trekanter.
(iv)
a = 4: Settes inn i lik. (I):
r^2 - 4*r = 0,
gir en løsning, for r ≠ 0. r = 4. Og altså 1 trekant.
F. eks. a = 5: Lik. (I) gir: r^2 - 4*r - 9 = 0,
gir 2 løsninger på r. Men for r > 0 medfører dette 1 løsning og
1 trekant.
I dette eks. gis løsningene:
a < 3.46 : ingen trekant
a = 3,46 : 1 trekant
3.46 < a < 4 : 2 trekanter
a større eller lik 4: 1 trekant
quote="birgitte89"]I en trekant ABC er vinkel A = 36,8, AC = 8 og BC = a. Bestem hvor mange trekanter som oppfyller kravene for ulike verdier av a > 0.
ER det noen som kan løse den for meg?[/quote]
--------------------------------------------------------------------------------
Den kan sikkert løses på en mer elegant måte. Men jeg velger å løse
den slik; med dine tall blir cosinussetningen:
a[sup]2[/sup] = 8[sup]2[/sup] + c[sup]2[/sup] - 2*8*c*cos36.8[sup]o[/sup]
a[sup]2[/sup] = 64 + c[sup]2[/sup] - 12.8c
a[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup] - 12.8c + 64 (I)
(I) må drøftes for ulike verdier av a, a > 0:
a=1: a[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup] - 12.8c + 63
C ikke def., ingen løsninger. Ingen trekanter.
a=2: a[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup] - 12.8c + 60,
ingen løsninger, ingen trekanter.
a=3 og a=4 gir tilsvarende ingen løsninger.
og ingen trekanter.
a > 4.9 og
a=5:
Gir 2. gradslik. c[sup]2[/sup] - 12.8c + 39 = 0
Med 2 løsninger, c[sub]1[/sub]=5 og c[sub]2[/sub]=7.8. Og dette gir altså 2 trekanter.
a=6, a=7 og gir også 2 løsninger på c, dvs 2 trekanter.
a=8: c*(c - 12.8)=0
c [symbol:ikke_lik] 0, gir 1 løsning på c og 1 trekant.
a > 8 og c > 0 gir 1 løsning på (I) og 1 trekant.
Oppsummering:
(i)
For
0 < a < 4.9
gir ingen løsninger på c i lik. (I) og dermed ingen trekanter.
(ii)
4.9 < a < 8
gir 2 løsninger på c i likning (I) og dermed 2 trekaneter.
(iii)
a=8
gir en løsning på likning (I) og 1 trekant.
(iv)
For a > 8
og c > 0, gir en løsning på c, og dermed 1 trekant.
ER det noen som kan løse den for meg?[/quote]
--------------------------------------------------------------------------------
Den kan sikkert løses på en mer elegant måte. Men jeg velger å løse
den slik; med dine tall blir cosinussetningen:
a[sup]2[/sup] = 8[sup]2[/sup] + c[sup]2[/sup] - 2*8*c*cos36.8[sup]o[/sup]
a[sup]2[/sup] = 64 + c[sup]2[/sup] - 12.8c
a[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup] - 12.8c + 64 (I)
(I) må drøftes for ulike verdier av a, a > 0:
a=1: a[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup] - 12.8c + 63
C ikke def., ingen løsninger. Ingen trekanter.
a=2: a[sup]2[/sup] = c[sup]2[/sup] - 12.8c + 60,
ingen løsninger, ingen trekanter.
a=3 og a=4 gir tilsvarende ingen løsninger.
og ingen trekanter.
a > 4.9 og
a=5:
Gir 2. gradslik. c[sup]2[/sup] - 12.8c + 39 = 0
Med 2 løsninger, c[sub]1[/sub]=5 og c[sub]2[/sub]=7.8. Og dette gir altså 2 trekanter.
a=6, a=7 og gir også 2 løsninger på c, dvs 2 trekanter.
a=8: c*(c - 12.8)=0
c [symbol:ikke_lik] 0, gir 1 løsning på c og 1 trekant.
a > 8 og c > 0 gir 1 løsning på (I) og 1 trekant.
Oppsummering:
(i)
For
0 < a < 4.9
gir ingen løsninger på c i lik. (I) og dermed ingen trekanter.
(ii)
4.9 < a < 8
gir 2 løsninger på c i likning (I) og dermed 2 trekaneter.
(iii)
a=8
gir en løsning på likning (I) og 1 trekant.
(iv)
For a > 8
og c > 0, gir en løsning på c, og dermed 1 trekant.
8*sin 36,8 = h
h = 4,79
hvis a<4,79 så er det ingen trekanter som passer
hvis a = 4,79 så er det kun en trekant som passer.
hvis a>4,79 er det to trekanter som passer
h = 4,79
hvis a<4,79 så er det ingen trekanter som passer
hvis a = 4,79 så er det kun en trekant som passer.
hvis a>4,79 er det to trekanter som passer