I en trekant ABC er vinkelA= 45grader, og vinkelB=60grader. Normalen fra C treffer AB i D, og normalen fra B treffer AC i E. Dessuten er CD= s.
a) Finn eksakte utrykk for DB og AD
b) Finn eskakte verdier for lengdene AC og BC
c) Finn arealet av trekanten ABC uttrykt ved s
d) Finn BE ved å sette to utrykk for arealet lik hverandre
e) Hvor stor er vinkelC
f) Vis at
sin75 = ([symbol:rot] 6+ [symbol:rot] 2)/4
Dette gir meg seriøst ingen mening...
Har kommet fram til at
DB= s/tan60 og AD= s/tan45, men vet ikke om det stemmer i det hele tatt.
På forhånd takk!
trekant drama:P
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
a) Trekant ACD er en rettvinklet likebeint trekant. Ergo blir AD = CD = s. Sinussetningen gir
[tex]\frac{\sin B}{CD} \;=\; \frac{\sin (BCD)}{BD}, [/tex]
i.e.
[tex]BC \;=\; \frac{CD \: \sin (BCD)}{\sin B} \;=\; \frac{s \: \sin30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} \;=\; \frac{1}{\sqrt{3}}\,s. [/tex]
b) Vha. Pytagoras' læresetning får vi at
[tex]AC \:=\: \sqrt{2}\,s \;\; \mbox{og} \;\; BC \:=\: \frac{2}{\sqrt{3}}\,s.[/tex]
c) Arealet F av trekanten ABC er
[tex]F \;=\; \frac{AB \, \cdot \, CD}{2} \;=\; \frac{(AD \:+\: DB) \, \cdot \, CD}{2} \;=\; ( \, \frac{1}{2} \:+\: \frac{1}{2\sqrt{3}} \,) s^2. [/tex]
d) Nå er
[tex]F \;=\; \frac{AC \, \cdot \, BE}{2} \;=\; \frac{AC \, \cdot \, BE}{2} \;=\; \frac{BE}{\sqrt{2}}\,s,[/tex]
dvs. at
[tex]BE \;=\; \frac{\sqrt{2} \, F}{s} \;=\; \frac{\sqrt{2}}{s} \, \cdot \, ( \, \frac{1}{2} \:+\: \frac{1}{2\sqrt{3}} \,) s^2 \;=\; ( \, \frac{1}{\sqrt{2}} \:+\: \frac{1}{\sqrt{6}} \,) s.[/tex]
e) Vinkel C er 180 - 45 - 60 = 75 grader.
f) Vi vet at
[tex]F \;=\; \frac{1}{2} \, AC \, \cdot \, BC \, \cdot \, \sin C \;=\; \frac{1}{2} \, AC \, \cdot \, BE[/tex]
dvs. at
[tex]\sin 75^{\circ} \;=\; \sin C \;=\; \frac{BE}{BC} \;=\; \frac{( \, \frac{1}{\sqrt{2}} \:+\: \frac{1}{\sqrt{6}} \,) s}{\frac{2}{\sqrt{3}} \, s} \;=\; \frac{\sqrt{6} \:+\: \sqrt{2}}{4}\:.[/tex]
[tex]\frac{\sin B}{CD} \;=\; \frac{\sin (BCD)}{BD}, [/tex]
i.e.
[tex]BC \;=\; \frac{CD \: \sin (BCD)}{\sin B} \;=\; \frac{s \: \sin30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} \;=\; \frac{1}{\sqrt{3}}\,s. [/tex]
b) Vha. Pytagoras' læresetning får vi at
[tex]AC \:=\: \sqrt{2}\,s \;\; \mbox{og} \;\; BC \:=\: \frac{2}{\sqrt{3}}\,s.[/tex]
c) Arealet F av trekanten ABC er
[tex]F \;=\; \frac{AB \, \cdot \, CD}{2} \;=\; \frac{(AD \:+\: DB) \, \cdot \, CD}{2} \;=\; ( \, \frac{1}{2} \:+\: \frac{1}{2\sqrt{3}} \,) s^2. [/tex]
d) Nå er
[tex]F \;=\; \frac{AC \, \cdot \, BE}{2} \;=\; \frac{AC \, \cdot \, BE}{2} \;=\; \frac{BE}{\sqrt{2}}\,s,[/tex]
dvs. at
[tex]BE \;=\; \frac{\sqrt{2} \, F}{s} \;=\; \frac{\sqrt{2}}{s} \, \cdot \, ( \, \frac{1}{2} \:+\: \frac{1}{2\sqrt{3}} \,) s^2 \;=\; ( \, \frac{1}{\sqrt{2}} \:+\: \frac{1}{\sqrt{6}} \,) s.[/tex]
e) Vinkel C er 180 - 45 - 60 = 75 grader.
f) Vi vet at
[tex]F \;=\; \frac{1}{2} \, AC \, \cdot \, BC \, \cdot \, \sin C \;=\; \frac{1}{2} \, AC \, \cdot \, BE[/tex]
dvs. at
[tex]\sin 75^{\circ} \;=\; \sin C \;=\; \frac{BE}{BC} \;=\; \frac{( \, \frac{1}{\sqrt{2}} \:+\: \frac{1}{\sqrt{6}} \,) s}{\frac{2}{\sqrt{3}} \, s} \;=\; \frac{\sqrt{6} \:+\: \sqrt{2}}{4}\:.[/tex]
Hei... kan jeg få hjelp til denne b oppgaven?
Mellom to punkter A og B som ligger 300 m fra hverandre, blir det samtidig observert et fly i vertikalplanet gjennom A og B. Fra A ble det sett under en vinkel på 60 grader med horisonten og fra B under en vinkel på 49 grader med horisonten.
a) hvor langt er det fra A til flyet?
b) hvor høyt er flyet
På forhånd takk!
Mellom to punkter A og B som ligger 300 m fra hverandre, blir det samtidig observert et fly i vertikalplanet gjennom A og B. Fra A ble det sett under en vinkel på 60 grader med horisonten og fra B under en vinkel på 49 grader med horisonten.
a) hvor langt er det fra A til flyet?
b) hvor høyt er flyet
På forhånd takk!
For det første. Tegn hjelpefigur etter hvert. Det gjør ting en del enklere.
a) Vi sier at flyet ligger i C. Da danner ABC en trekant. Vi kaller AB for c, BC for a og AC for b. Det er logisk at C ligger nærmere A enn B (jo nærmere man kommer et objekt høyere oppe, jo større blir siktevinkelen). Det betyr at vinkel [tex]\angle B[/tex] (spennende vinkel-tegn i TeX, forresten) er den samme som vinkelen mot horisonten. [tex]\angle A[/tex] derimot, vil bli det som mangler på 180 grader, fordi vinkelen mot horisonten er den utvendige vinkelen, men vi vil vite den innvendige. Når vi nå kjenner to vinkler, kan vi finne den tredje.
Altså:
[tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]\angle A = 180^0 - 60^o = 120^o[/tex]
[tex]\angle B = 49^o[/tex]
[tex]\angle C = 180^o - 120^o - 49^o = 11^o[/tex]
[tex]c = 300m[/tex]
Alle vinklene og en side er kjent, altså er trekanten entydig bestemt.
Vi vil nå finne avstanden fra A til C, altså b.
Til dette bruker vi sinussetningen:
[tex]\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}[/tex]
Vi kjenner både c og C, derfor bruker vi de to siste uttrykkene.
[tex]\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}[/tex]
Vi omformer litt:
[tex]b = \frac{\sin B \cdot c}{\sin C}[/tex]
Setter inn:
[tex]b = \frac{\sin 49^o \cdot 300m}{\sin 11^o}[/tex]
[tex]b \approx 1187m[/tex]
b) Vi må lage en ny trekant, [tex]\triangle ACD[/tex], der A og C er de samme punktene som i trekanten i (a), og D er punktet der normalen til C treffer forlengelsen til AB fra (a). Vi kaller AC for d, AD for c, og CD for a.
Vi kjenner nå [tex]\angle A[/tex], det er vinkelen mellom flyet og horisonten. Vi vet at siden a er normal til c, så er [tex]\angle D = 90^o[/tex]. Når vi vet to vinkler, kan vi også finne vinkel C. Vi kjenner d, som er b fra oppgave (a), dvs. [tex]d = \frac{\sin 49^o \cdot 300m}{\sin 11^o}[/tex]
Altså:
[tex]\triangle ACD[/tex]:
[tex]\angle A = 60^o[/tex]
[tex]\angle C = 180^o - 60^o - 90^o = 30^o[/tex]
[tex]\angle D = 90^o[/tex]
[tex]d = \frac{\sin 49^o \cdot 300m}{\sin 11^o}[/tex]
Vi vil gjerne finne høyden, altså a.
Vi har en rettvinklet trekant, og da blir det litt enklere.
Vi har at:
[tex]\sin A = \frac{a}{d}[/tex]
Altså:
[tex]a = \sin A \cdot d[/tex]
[tex]a = \sin 60^o \cdot \frac{\sin 49^o \cdot 300m}{\sin 11^o}[/tex]
Så kan vi gjøre mye fancy med forkortelser og nøyaktigheter, eller vi kan bare runde av.
[tex]a \approx 1028m[/tex]
Med forbehold om alle feilene.
a) Vi sier at flyet ligger i C. Da danner ABC en trekant. Vi kaller AB for c, BC for a og AC for b. Det er logisk at C ligger nærmere A enn B (jo nærmere man kommer et objekt høyere oppe, jo større blir siktevinkelen). Det betyr at vinkel [tex]\angle B[/tex] (spennende vinkel-tegn i TeX, forresten) er den samme som vinkelen mot horisonten. [tex]\angle A[/tex] derimot, vil bli det som mangler på 180 grader, fordi vinkelen mot horisonten er den utvendige vinkelen, men vi vil vite den innvendige. Når vi nå kjenner to vinkler, kan vi finne den tredje.
Altså:
[tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]\angle A = 180^0 - 60^o = 120^o[/tex]
[tex]\angle B = 49^o[/tex]
[tex]\angle C = 180^o - 120^o - 49^o = 11^o[/tex]
[tex]c = 300m[/tex]
Alle vinklene og en side er kjent, altså er trekanten entydig bestemt.
Vi vil nå finne avstanden fra A til C, altså b.
Til dette bruker vi sinussetningen:
[tex]\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}[/tex]
Vi kjenner både c og C, derfor bruker vi de to siste uttrykkene.
[tex]\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}[/tex]
Vi omformer litt:
[tex]b = \frac{\sin B \cdot c}{\sin C}[/tex]
Setter inn:
[tex]b = \frac{\sin 49^o \cdot 300m}{\sin 11^o}[/tex]
[tex]b \approx 1187m[/tex]
b) Vi må lage en ny trekant, [tex]\triangle ACD[/tex], der A og C er de samme punktene som i trekanten i (a), og D er punktet der normalen til C treffer forlengelsen til AB fra (a). Vi kaller AC for d, AD for c, og CD for a.
Vi kjenner nå [tex]\angle A[/tex], det er vinkelen mellom flyet og horisonten. Vi vet at siden a er normal til c, så er [tex]\angle D = 90^o[/tex]. Når vi vet to vinkler, kan vi også finne vinkel C. Vi kjenner d, som er b fra oppgave (a), dvs. [tex]d = \frac{\sin 49^o \cdot 300m}{\sin 11^o}[/tex]
Altså:
[tex]\triangle ACD[/tex]:
[tex]\angle A = 60^o[/tex]
[tex]\angle C = 180^o - 60^o - 90^o = 30^o[/tex]
[tex]\angle D = 90^o[/tex]
[tex]d = \frac{\sin 49^o \cdot 300m}{\sin 11^o}[/tex]
Vi vil gjerne finne høyden, altså a.
Vi har en rettvinklet trekant, og da blir det litt enklere.
Vi har at:
[tex]\sin A = \frac{a}{d}[/tex]
Altså:
[tex]a = \sin A \cdot d[/tex]
[tex]a = \sin 60^o \cdot \frac{\sin 49^o \cdot 300m}{\sin 11^o}[/tex]
Så kan vi gjøre mye fancy med forkortelser og nøyaktigheter, eller vi kan bare runde av.
[tex]a \approx 1028m[/tex]
Med forbehold om alle feilene.
men svaret skulle egentlig bli på a) 243 m og på b) 214 m.