innsettingsmetode/brøk

[heny]

1brøkstrek2 X pluss 1brøkstrek3Y=1brøkstrek4

1brøkstrek4 X minusY=1 ???

[sEirik]

Spennende måte å skrive likningen på. Mener du sånn her:

(1) [tex]\frac{1}{2}x + \frac{1}{3y} = \frac{1}{4}[/tex]
(2) [tex]\frac{1}{4}x - y = 1[/tex]

Ser ut som om addisjonsmetoden er best her. Vi tar for oss (2). Vi vil gjerne kvitte oss med x. Derfor multipliserer vi på begge sider med -2 for å få inverse x-koeffisienter.

[tex]-\frac{1}{2}x + 2y = -2[/tex]

Så legger vi sammen likningene:

[tex]\frac{1}{2}x + \frac{1}{3y} = \frac{1}{4}[/tex]
[tex]-\frac{1}{2}x + 2y = -2[/tex]

(3) [tex]2y + \frac{1}{3y} = \frac{1}{4} - 2[/tex]

[tex]2y + \frac{1}{3y} = -\frac{7}{4}[/tex]

Videre vil vi bli kvitt brøken med y i nevner, da multipliserer vi med 3y:

[tex]2y(3y) + 1 = (-\frac{7}{4})3y[/tex]

[tex]6y^2 + 1 = -\frac{21}{4}y[/tex]

Flytter over til V.S.

[tex]6y^2 + \frac{21}{4}y + 1 = 0[/tex]

Vi har fått en andregradslikning.

[tex]y = \frac{-\frac{21}{4} \pm sqrt{(\frac{21}{4})^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6}[/tex]

Vi kvadrerer ut brøken og omformer 24 til brøk med samme nevner.

[tex]y = \frac{-\frac{21}{4} \pm sqrt{\frac{441}{16} - \frac{384}{16}}}{12}[/tex]

[tex]y = \frac{-\frac{21}{4} \pm sqrt{\frac{57}{16}}}{12}[/tex]

[tex]y = \frac{-\frac{21}{4} \pm \frac{\sqrt{57}}{4}}{12}[/tex]

Deler på 12 oppe og nede i hovedbrøken

(4) [tex]y = \frac{-21 \pm sqrt{57}}{48}[/tex]

Vi fant to løsninger for y. Dette må bety to løsninger for x også.

Omformer (2) for å finne et uttrykk for x

[tex]\frac{1}{4}x - y = 1[/tex]

[tex]\frac{1}{4}x = y + 1[/tex]

[tex]x = 4y+4[/tex]

Vi tar for oss [tex]x_1[/tex], da må vi bruke verdien for [tex]y_1[/tex], som vi kaller den største verdien av y.

[tex]x_1 = 4(\frac{-21 + sqrt{57}}{48}) + 4[/tex]

Trekker faktoren 4 inn i brøken

[tex]x_1 = \frac{-21 + sqrt{57}}{12} + 4[/tex]

Trekker leddet 4 inn i brøken

[tex]x_1 = \frac{27 + sqrt{57}}{12}[/tex]

Så tar vi for oss [tex]x_2[/tex]:

[tex]x_2 = 4(\frac{-21 - sqrt{57}}{48}) + 4[/tex]

Trekker faktoren 4 inn i brøken

[tex]x_2 = \frac{-21 - sqrt{57}}{12} + 4[/tex]

Trekker leddet 4 inn i brøken

[tex]x_2 = \frac{27 - sqrt{57}}{12}[/tex]

Likningen er sann hvis [tex](x,y) \in L = \{(\frac{27 + sqrt{57}}{12}, \frac{-21 + sqrt{57}}{48}), (\frac{27 - sqrt{57}}{12}, \frac{-21 - sqrt{57}}{48})\}[/tex]

[tex]L \approx \{(2.88, -0.28), (1.62, -0.59)\}[/tex]