3 ukjente (x,y og z)

[GeneralSvae]

Ole har lomma full av femtiøringer, femkroner og tikroner. Til sammen har han 100 mynter til en samlet verdi av 100 kr. Hvor mange mynter av hver sort har han?

Hint: Ved hjelpt av innsettingsmetoden kan en lage en diofantisk likning med 2 ukjente x og y.

[Magnus]

Hei!

Vi setter opp våre to likninger:

[tex]0.5x + 5y + 10z = 100[/tex]
[tex]x + 10y + 20z = 200[/tex]

Og den andre:

[tex]x+y+z = 100[/tex]

Tar f.eks x = 100 - y- z og setter inn i øverste likning:

[tex](100-y-z) + 10y + 20z = 200[/tex]
[tex]9y + 19z = 100[/tex]

Bruker euklids metode for gcd og får: 19 = 9*2 + 1
d = gcd(19,9) = 1

[tex]1 = 19-9*2[/tex]

Multipliserer med 100

[tex]100*19 - 200*9 = 100[/tex]

Her har vi et problem. I følge denne løsningen så er y=-200 og z=100. Dette stemmer ikke. Vi må derfor bruke formel for å bestemme alle løsninger til diofantiske likninger:

[tex]y = -200 + \frac {19}{1}*t[/tex]

[tex]z = 100 - \frac {9}{1}*t[/tex]

Vi vet at [tex]z\in (0,100)[/tex] følgelig må [tex]t\in (0,11)[/tex].

Av den andre ser vi at [tex]19t > -200[/tex] og får at t = 11

Setter dette inn og får:

[tex]y = -200 + 19*11 = 9[/tex]
[tex]z = 100-99 = 1[/tex]

[tex]x + 10y + 20z = 200[/tex]

[tex]x = 200 - 20 - 9*10 = 180-90 = 90[/tex]

Dette gir oss da:

[tex](x,y,z) = (90,9,1)[/tex]

Og så la man seg

[GeneralSvae]

Takker!