Verdimengde
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
[tex]f(x) = \frac{6x}{x^2 - 5}[/tex]
Verdimengden er [tex]\mathbb{R}[/tex]. Funksjonen er nemlig surjektiv, altså
[tex]\forall y \in \mathbb{R} : (\exists x \in \mathbb{R}: f(x) = y)[/tex]
(Ja, i tilfelle du lurte, jeg liker å bruke mange rare matematiske symboler.)
Kanskje du ikke skjønte så mye av det, men vi kan vise på en enkel måte at [tex]V_f = \mathbb R[/tex]. Du er kanskje med på at hvis vi finner et uttrykk for x (gitt ved f(x)), hvis definisjonsmengde er [tex]\mathbb R[/tex], så er verdimengden til f(x) lik [tex]\mathbb R[/tex]?
Vi har at:
[tex]f(x) = \frac{6x}{x^2 - 5}[/tex]
[tex](x^2 - 5)f(x) = 6x[/tex]
[tex]f(x)x^2 - 6x - 5f(x) = 0[/tex]
En litt spesiell andregradslikning...
Vi må gå ut fra at [tex]f(x) \not = 0[/tex], men vi vet at f også har denne verdien, i x = 0.
[tex]x = \frac{6 \pm sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot f(x) \cdot (-5f(x))}}{2 \cdot f(x)}[/tex]
[tex]x = \frac{6 \pm sqrt{36 + 16(f(x))^2}}{2f(x)}[/tex]
Vi ser at det som står under kvadratrottegnet alltid må være positivt, ergo har x alltid en verdi definert gitt ved f(x). Det betyr at vi kan velge hvilken f(x) vi selv vil innenfor definisjonsområdet, som er [tex]\mathbb R[/tex], og få et reelt tall for x tilbake. Altså er [tex]V_f = \mathbb R[/tex]
Verdimengden er [tex]\mathbb{R}[/tex]. Funksjonen er nemlig surjektiv, altså
[tex]\forall y \in \mathbb{R} : (\exists x \in \mathbb{R}: f(x) = y)[/tex]
(Ja, i tilfelle du lurte, jeg liker å bruke mange rare matematiske symboler.)
Kanskje du ikke skjønte så mye av det, men vi kan vise på en enkel måte at [tex]V_f = \mathbb R[/tex]. Du er kanskje med på at hvis vi finner et uttrykk for x (gitt ved f(x)), hvis definisjonsmengde er [tex]\mathbb R[/tex], så er verdimengden til f(x) lik [tex]\mathbb R[/tex]?
Vi har at:
[tex]f(x) = \frac{6x}{x^2 - 5}[/tex]
[tex](x^2 - 5)f(x) = 6x[/tex]
[tex]f(x)x^2 - 6x - 5f(x) = 0[/tex]
En litt spesiell andregradslikning...
Vi må gå ut fra at [tex]f(x) \not = 0[/tex], men vi vet at f også har denne verdien, i x = 0.
[tex]x = \frac{6 \pm sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot f(x) \cdot (-5f(x))}}{2 \cdot f(x)}[/tex]
[tex]x = \frac{6 \pm sqrt{36 + 16(f(x))^2}}{2f(x)}[/tex]
Vi ser at det som står under kvadratrottegnet alltid må være positivt, ergo har x alltid en verdi definert gitt ved f(x). Det betyr at vi kan velge hvilken f(x) vi selv vil innenfor definisjonsområdet, som er [tex]\mathbb R[/tex], og få et reelt tall for x tilbake. Altså er [tex]V_f = \mathbb R[/tex]
[tex]f(x) = \frac{1 - x^2}{x^2 - 4}[/tex]
Foreslår at du begynner med å tegne den på kalkulatoren, f.eks. for [tex]x \in \[-10, 10\][/tex] og [tex]y \in \[-10,10\][/tex], så får du en pekepinn om hvordan funksjonen ser ut.
Du observerer at funksjonen fortsetter nedover og oppover utover synsfeltet vårt i nesten rette linjer, det er et ganske klart tegn på at grafen fortsetter helt til +-uendelig. Da kan vi utelukke eventuellet topp/bunnpunkter.
Bruk samme fremgangsmåte som i stad.
[tex]f(x) = \frac{1 - x^2}{x^2 - 4}[/tex]
[tex](x^2 - 4)f(x) = 1 - x^2[/tex]
[tex]f(x)x^2 + x^2 = 4f(x) + 1[/tex]
[tex](f(x) + 1)x^2 = 4f(x) + 1[/tex]
[tex]x^2 = \frac{4f(x) + 1}{f(x) + 1}[/tex]
[tex]x = \pm sqrt{\frac{4f(x) + 1}{f(x) + 1}}[/tex]
Og hva ser vi? Vi vet at det er ulovlig å ta kvadratroten av negative tall, derfor må brøken som helhet være positiv eller null. Da må vil enten tenke hardere enn jeg strengt tatt gidder nå, eller så må vi til med fortegnsskjema.
Vi ser at brøken er positiv i [tex]<\infty, -1>[/tex], ikke definert i -1, negativ i [tex]<-1, -\frac{1}{4}>[/tex], null i [tex]-\frac{1}{4}[/tex] og positiv i [tex]<-\frac{1}{4}, \infty>[/tex].
Konklusjon, funksjonen er definert i [tex]{\mathbb R} - <-1, -\frac{1}{4}\][/tex].
Generell fremgangsmåte for å finne verdimengden til funksjoner:
Gitt en funksjon f(x), finn x uttrykt ved f(x). Verdimengden til f(x) er den samme som definisjonsmengden til x gitt ved f(x). Definisjonsmengden finner du ved å se hvilke verdier som gjør at uttrykket blir "lovlig" å evaluere.
Foreslår at du begynner med å tegne den på kalkulatoren, f.eks. for [tex]x \in \[-10, 10\][/tex] og [tex]y \in \[-10,10\][/tex], så får du en pekepinn om hvordan funksjonen ser ut.
Du observerer at funksjonen fortsetter nedover og oppover utover synsfeltet vårt i nesten rette linjer, det er et ganske klart tegn på at grafen fortsetter helt til +-uendelig. Da kan vi utelukke eventuellet topp/bunnpunkter.
Bruk samme fremgangsmåte som i stad.
[tex]f(x) = \frac{1 - x^2}{x^2 - 4}[/tex]
[tex](x^2 - 4)f(x) = 1 - x^2[/tex]
[tex]f(x)x^2 + x^2 = 4f(x) + 1[/tex]
[tex](f(x) + 1)x^2 = 4f(x) + 1[/tex]
[tex]x^2 = \frac{4f(x) + 1}{f(x) + 1}[/tex]
[tex]x = \pm sqrt{\frac{4f(x) + 1}{f(x) + 1}}[/tex]
Og hva ser vi? Vi vet at det er ulovlig å ta kvadratroten av negative tall, derfor må brøken som helhet være positiv eller null. Da må vil enten tenke hardere enn jeg strengt tatt gidder nå, eller så må vi til med fortegnsskjema.
Vi ser at brøken er positiv i [tex]<\infty, -1>[/tex], ikke definert i -1, negativ i [tex]<-1, -\frac{1}{4}>[/tex], null i [tex]-\frac{1}{4}[/tex] og positiv i [tex]<-\frac{1}{4}, \infty>[/tex].
Konklusjon, funksjonen er definert i [tex]{\mathbb R} - <-1, -\frac{1}{4}\][/tex].
Generell fremgangsmåte for å finne verdimengden til funksjoner:
Gitt en funksjon f(x), finn x uttrykt ved f(x). Verdimengden til f(x) er den samme som definisjonsmengden til x gitt ved f(x). Definisjonsmengden finner du ved å se hvilke verdier som gjør at uttrykket blir "lovlig" å evaluere.