matematikk.net

En funksjon f er gitt ved

F ( x ) = ( x - 1 ) ln x

a) finn nullpunktet til F

b) finn bunnpunktet til F

nullpunkt: sett F(X) = 0 og løs x

bunnpunkt: sett F'(X)=0 og løs x

[tex]f(x) = (x-1) \ln (x)[/tex]

a) Nullpunkt:
[tex]f(x) = (x-1) \ln (x) = 0[/tex]
Enten (x-1) eller ln(x) er 0
Dette gir kun én løsning, siden ln(x) aldri er 0 for noe rasjonalt tall: x = 1

b) Bunnpunkt:
[tex]f \prime (x) = \ln (x) + \frac{x-1}{x} = 0 \\ x\ln(x) + x - 1 = 0 \\ (ex)^x = e[/tex]

Ved inspeksjon ser vi at eneste løsning er x = 1

[tex]f \prime \prime(x) = \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2}[/tex]

Og vi ser med dette at andrederivatet er positivt i punktet, og kurven er dermed ved et minimum.